Smale-Williams solenoidi

Smale-Williams-solenoidi on esimerkki käännettävästä dynaamisesta järjestelmästä , joka muistuttaa liikeradan käyttäytymistä ympyrän kaksinkertaistuvan kartoituksen kanssa. Tarkemmin sanottuna tämä dynaaminen järjestelmä on määritelty kiinteässä toruksessa , ja sen yhdellä iteraatiolla kulmakoordinaatti kaksinkertaistuu; mistä lentoratojen eksponentiaalinen poikkeaminen ja kaoottinen dynamiikka syntyvät automaattisesti. Tämän järjestelmän maksimiattraktoria kutsutaan myös solenoidiksi (josta itse asiassa nimi tulee): se on järjestetty (lukemattomaksi) "kierteiden" liitoksiksi, joka on kierretty kiinteää torusta pitkin.

Määritelmä

Solenoidikartoitusta kutsutaan kartoitukseksi

F:S^{1}\times D\to S^{1}\times D

kiinteä torus itseensä, annettu muodossa

F(\varphi ,z)=(2\varphi ,{\frac {1}{2}}e^{i\varphi }+{\frac {1}{10}}z).

Mukavuussyistä tässä levyä pidetään yhtenä levynä kompleksisella tasolla: . $D$ ${\displaystyle D=\{|z|\leq 1\))$

Tämän kartoituksen maksimiattraktoria (samoin kuin koko vastaavaa dynaamista järjestelmää) kutsutaan Smale-Williams-solenoidiksi . $A_{max}(F)$

Ominaisuudet

Solenoidikartoitus on hyperbolinen .
Itse solenoidi osoittautuu homeomorfiseksi joukolle, joka on saatu toteuttamalla matkamittarin ylärakenneproseduuri - yhden 2-adic- kokonaislukujen lisäyksen kartoitus . $\mathbb{Z } _{2}$
Solenoidin dynamiikka mahdollistaa symbolisen koodauksen : solenoidipiste voidaan liittää (melkein yksi yhteen) kaksipuolisiin äärettömiin nollien ja ykkösten sarjoihin, ja kartoituksen soveltaminen vastaa siirtymää vasemmalle sekvenssien avaruudessa. , ja osa sekvenssistä, jolla on positiiviset indeksit, on kulmakoordinaatin binääriesitys.

Linkit

Smale-Williams-attraktori Saratov Group of Nonlinear Dynamics -sivustolla.

Kirjallisuus

Sinai Ya.G., Vershik A.M., Dobrushin R.L., Dynamic Systems-2, VINITI.
Katok A. B. , Hasselblat B. Johdatus nykyaikaiseen dynaamisten järjestelmien teoriaan ja katsaus viimeaikaisiin saavutuksiin / Per. englannista. toim. A.S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 s. — ISBN 5-94057-063-1 .