Kramersin ja Kronigin suhteet

Kramers-Kronig-relaatiot ovat kiinteä yhteys minkä tahansa monimutkaisen funktioanalyyttisen funktion todellisen ja imaginaarisen osan välillä ylemmällä puolitasolla. Fysiikassa käytetään usein kuvaamaan fyysisen järjestelmän vastefunktion todellisen ja imaginaarisen osan välistä suhdetta , koska vastefunktion analyyttisyys tarkoittaa, että järjestelmä täyttää kausaalisuuden periaatteen ja päinvastoin [1] . Erityisesti Kramers-Kronig-relaatiot ilmaisevat klassisen sähködynamiikan permittiivisyyden reaali- ja imaginaariosan sekä ( matriisielementin ) siirtymän todennäköisyyden amplitudin välisen suhteen.) kahden tilan välillä kvanttikenttäteoriassa . Matematiikassa Kramers –Kronig-relaatiot tunnetaan Hilbert-muunnoksena .

Määritelmä

Kompleksisen muuttujan kompleksiselle funktiolle, joka on analyyttinen ylemmällä puolitasolla ja pyrkii nollaan, koska Kramers-Kronig-relaatiot kirjoitetaan seuraavasti: $\chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )$ $\omega,$ $\omega$ $|\omega |\rightarrow \infty ,$

\chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }vp\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '

\chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }vp\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}{\chi _{1}(\omega ' ) \over \omega '-\omega }\,d\omega ',

jossa symbolit tarkoittavat integraalin ottamista pääarvon merkityksessä (Cauchyn mukaan) . Voidaan nähdä, että ja eivät ole riippumattomia, mikä tarkoittaa, että täydellinen funktio voidaan palauttaa, jos vain sen todellinen tai kuvitteellinen osa annetaan. $vp$ $\chi _{1}(\omega )$ $\chi _{2}(\omega )$

Pienemmässä muodossa:

\chi (\omega )={1 \over i\pi }vp\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega } \,d\omega'.

Johtopäätös

Antaa olla jatkuva funktio monimutkaisen muuttujan . Arvioidaan ääriviivojen integraalien summa hieman todellisen akselin ylä- ja alapuolella: $f(x)$ $x$

\lim _{\epsilon \to 0}\left[\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{xi\epsilon }}+\int _{ -\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{x+i\epsilon }}\right]=\lim _{\epsilon \to 0}\left[\int _{-\ infty -i\epsilon }^{\infty -i\epsilon }{\frac {f(x'+i\epsilon )dx'}{x'}}+\int _{-\infty +i\epsilon }^ {\infty +i\epsilon }{\frac {f(x'-i\epsilon )dx'}{x'}}\right]=2v.p.\int _{-\infty }^{\infty } {\frac {f(x)}{x}}dx

Arvioidaan integraalien ero ääriviivojen yli hieman todellisen akselin ylä- ja alapuolella:

\lim _{\epsilon \to 0}\left[\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{xi\epsilon }}-\int _{ -\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{x+i\epsilon }}\right]=\oint _{-\infty }^{\infty }{\frac {f( x)}{x}}dx=2\pi if(0)

( Cauchyn integraalikaava ). Yhdistämällä nämä kaksi yhtäläisyyttä, löydämme

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{x\pm i\epsilon }}=vp\int _{-\infty }^{\infty } {\frac {f(x)}{x}}dx\mp i\pi f(0)

Tämä on Sochocki-Plemelj-lause .

Polarisaatio jossain vaiheessa määräytyy sähkökentän arvojen perusteella vain aikaisemmissa pisteissä, joten argumentin negatiivisten arvojen polarisoituvuuden yhtäläisyys nollaan antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa: ${\näyttötyyli \chi (t)}$

\chi _{\omega }=\int _{0}^{\infty }e^{i\omega t}\chi (t)dt

kompleksisen taajuuden tapauksessa funktion on oltava analyyttinen ylemmällä puolitasolla, jotta kausaalisuusperiaate täyttyy . Mutta sitten funktio , jossa on todellinen, on myös analyyttinen ylemmässä puolitasossa ja mikä tahansa tässä puolitasossa suljettu integraali on yhtä suuri kuin nolla: $\chi (\omega )$ $\chi (\omega ')/(\omega '-\omega )$ $\omega$ $\omega '$

\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '=0

Kirjoitamme integraalin reaaliakselia pitkin Sochocki-Plemei-lauseen avulla:

0=\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '={\mathcal {P))\!\!\!\int \limits _{ -\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '-i\pi \chi (\omega ).

sitten

\chi (\omega )={1 \over i\pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi ( \omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '.

Kompleksiselle kirjoitamme yhtälön reaali- ja imaginaariosat: $\chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )$

\chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{ \chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '

\chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty } {\chi _{1}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega ',

missä - integraali otetaan pääarvon merkityksessä. Kramersin ja Kronigin suhteet [2] [3] saadaan . ${\mathcal {P}}$

Kramers-Kronig-suhteet fysiikassa

Klassinen sähködynamiikka [4] [5]

Tärkeä esimerkki Kramers–Kronig-relaatioiden soveltamisesta fysiikassa on dispersiosuhteiden ilmaisu klassisessa sähködynamiikassa . Tässä tapauksessa , missä on permittiivisyys , ω on taajuus . $\varepsilon (\omega )=\varepsilon ^{\prime }(\omega )+i\varepsilon ^{{\prime \prime }}(\omega )$ $\varepsilon$

\varepsilon ^{\prime }(\omega )=1+{\frac {1}{\pi }}vp\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varepsilon ^{\prime \prime }(x)}{x-\omega }}dx

\varepsilon ^{{\prime \prime }}(\omega )=-{\frac {1}{\pi }}vp\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }{\frac { \varepsilon ^{\prime }(x)-1}{x-\omega }}dx.

Permittitiivisyyden reaali- ja imaginaariosa määräävät tietyn väliaineen taitekertoimen ja absorptiokertoimen (optiset vakiot). Siten nämä indikaattorit eivät ole toisistaan riippumattomia, ja näin ollen on periaatteessa mahdollista laskea toisen spektri toisen optisen vakion spektristä turvautumatta jälkimmäisen suoriin mittauksiin. Useissa tapauksissa tämä tekee mahdolliseksi vähentää kokeellisesti saadun tiedon määrää, joka tarvitaan optisten vakioiden määrittämiseen, esimerkiksi tiivistyneiden väliaineiden voimakkaiden absorptiovyöhykkeiden alueella. Kramers-Kronig-relaatioiden toteutettavuutta on toistuvasti testattu kokeellisesti eri väliaineilla eri aggregaatiotiloissa ja eri lämpötiloissa (kiteet, nesteet, liuokset) [6] [7] .

Kvanttikenttäteoria

Kvanttikenttäteoriassa sirontaprosesseja tutkittaessa siirtymän todennäköisyyksien amplitudit, joita pidetään järjestelmän kokonaisenergian, siirretyn liikemäärän jne. kompleksisina funktioina, täyttävät dispersiosuhteet [3] . Tämä helpottaa suuresti näiden ilmiöiden tutkimista.

Historia

Kramersin ja Kronigin suhteet solmittiin vuosina 1926-1927. Ralph Kronig [8] ja Hendrik Kramers [9] ja on nimetty heidän mukaansa.

Muistiinpanot

↑ John S. Toll, Causality and the Dispersion Relation: Logical Foundations , Physical Review, voi. 104 , s. 1760-1770 (1956).
↑ Jackson. "Klassinen sähködynamiikka". Moscow, Mir, 1965. (Eng: Jackson J. Classical Electrodynamics. – New York: Wiley, 1998
↑ 1 2 Nishijima, 1965 , s. 153.
↑ Martin P. Summasäännöt Kramers – Kronig -relaatiot ja kuljetuskertoimet varautuneissa järjestelmissä // Phys. Rev. . - 1967. - T. 161 . - S. 143 .
↑ Agranovich V. M., Ginzburg V. L. Kristallioptiikka, jossa huomioidaan spatiaalinen dispersio ja eksitoniteoria. - M. , 1979.
↑ Alperovitš L. I., Bakhshiev N. G., Zabiyakin Yu. E., Libov V. S. Kramers-Kronig -suhteet nesteiden ja liuosten molekyylispektreille // Optiikka ja spektroskopia . - 1968. - T. 24 . - S. 60-63 .
↑ Zabiyakin Yu. E. Kramers-Kronig-dispersiosuhteiden todentaminen laajalla lämpötila-alueella // Optiikka ja spektroskopia . - 1968. - T. 24 . - S. 828-829 .
↑ R. de L. Kronig, Röntgensäteiden dispersion teoriasta, J. Opt. soc. Am., voi. 12 , s. 547-557 (1926).
↑ H.A. Kramers, La diffusion de la lumiere par les atomes, Atti Cong. Harjoittelija. Fisica, (Transactions of Volta Centenary Congress) Como, voi. 2 , s. 545-557 (1927).

Kirjallisuus

Matthews J., Walker R. Matemaattiset menetelmät fysiikassa / Per. englannista. — M.: Atomizdat , 1972. — 392 s.
Barton G. Dispersiomenetelmät kenttäteoriassa / Per. englannista. - M., 1968.
Nishijima K. Perushiukkaset . - M . : Mir, 1965. - 462 s.