Näyttöaste

Kuvauksen aste on homotopia invariantti jatkuvasta kartoittamisesta kompaktien samankokoisten monistojen välillä .

Yksinkertaisimmassa tapauksessa ympyrästä ympyrään kartoituksessa kartoitusaste voidaan määritellä pisteen kierrosten lukumääräksi, kun ympyrä kulkee läpi. ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1))$ $\varphi(x)$ $x$

Määritelmät

Homologinen

Olkoot X ja Y suljetut , samankokoiset suuntautuvat jakoputket . Sitten jatkuvan kuvauksen aste määritellään kokonaislukuna siten, että $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $\deg(f)$

f_{*}([X])=\deg(f)[Y].

jossa tarkoittaa indusoitunutta homomorfismia homologiarenkaiden välillä ja tarkoittaa lajikkeen perusluokkaa . $f_{*}$ $[X]$ $X$

Laskemalla suuntauksia

Harkitse -ulotteisten kompaktien kytkettyjen suuntautuneiden sileiden jakoputkien sujuvaa kartoitusta . $n$ $\varphi: M_1^n\to M_2^n$

Pistettä kohteesta kutsutaan säännölliseksi , jos siinä on äärellinen määrä esikuvia ja jokaisessa sen esikuvissa kuvaus ei ole degeneroitunut (eli kuvauksen differentiaali kussakin esikuvassa on ei-degeneroitunut). Sardin lemman mukaan lähes kaikki pisteet ovat säännöllisiä arvoja . $M_2^n$ $\varphi$ $M_2^n$ $\varphi$

Annetaan jokaiselle säännöllisen pisteen esikuvalle numero , jos kartoitus tässä pisteessä säilyttää suunnan ja muutoin. Tällöin säännöllisen pisteen kaikkien esikuvien lukujen summaa kutsutaan kartoitusasteeksi . $+1$ $\varphi$ $-yksi$

Sardin lemmaa soveltaen voimme todistaa, että kartoitusaste ei riipu säännöllisen pisteen valinnasta. Siksi tämä määritelmä on oikea.

Ominaisuudet

Kuvauksen aste ei muutu, kun kartoitus on homotopia (jatkuva muutos) ja on siten kartoituksen homotoopiainvariantti .