Hodge-rakenne

Painon Hodge-rakenne tai puhdas Hodge-rakenne on objekti, joka koostuu todellisen vektoriavaruuden hilasta ja kompleksisen vektoriavaruuden dekompositiosta , jossa , jota kutsutaan Hodge-hajotukseksi . Tässä tapauksessa ehdon on täytyttävä , missä on kompleksikonjugaatti . $n$ $H_{\mathbb{Z} }$ $H_{\mathbb{R} }=H_{\mathbb{Z } }\otimes \mathbb{R}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=\bigoplus _{n}H^{p,\;q))$ $n = p+q$ $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {C}$ ${\bar H}^{{p,\;q}}=H^{{q,\;p}}$ ${\bar H}^{{p,\;q}}$ $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {R} }\bigotimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$

Muussa tapauksessa Hodge-hajoamista voidaan kuvata käyttämällä suodatuksen vähenemisen tai Hodge-suodatuksen käsitettä siten , että kun . Sitten aliavaruudet palautetaan kaavalla . $F^{r}=\bigoplus _{{p\geqslant r}}H^{{p,\;q}}$ $H_{\mathbb {C} }$ ${\bar F}^{s}\cap F^{r}=0$ $r+s\neq n$ $H^{{p,\;q}}$ $H^{{p,\;q}}={\bar F}^{p}\cap F^{q}$

Tätä rakennetta kompaktin Kähler-jakoputken -ulotteisen kohomologian avaruudessa tutki ensimmäisenä W. Hodge [1] . $n$ $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ $X$

Tässä tapauksessa aliavaruuksia kuvataan tyyppisten harmonisten muotojen avaruuksiksi tai holomorfisten differentiaalimuotojen vyyhtojen kohomologiaksi [2] . $H^{{p,\;q}}$ $(p,\;q)$ $H^{q}(X,\;\Omega ^{p})$ $\Omega ^{p}$

Hodge -suodatus syntyy nippukompleksin suodattamisesta, jonka -ulotteinen hyperkohomologia on isomorfinen muodon alakomplekseilla . $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ $\Omega =\sum _{{p\geqslant 0}}\Omega ^{p}$ $n$ $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ $\sum _{{r\geqslant p}}\Omega ^{r}$

Mixed Hodge -rakenne

Yleisempi käsite on sekoitettu Hodge-rakenne - tämä on esine , joka koostuu hilasta , lisääntyvästä suodatuksesta tai painojen suodatuksesta , sisään ja vähentävästä suodatuksesta (Hodge-suodatus) siten , että suodatustilassa määritetään puhdas Hodge-rakenne. painoja . $H_{\mathbb{Z} }$ $H_{\mathbb{R} }=H_{\mathbb{Z } }\otimes \mathbb{R}$ $W_{n}$ $H_{\mathbb{Q} }=H_{\mathbb{Z } }\otimes \mathbb{Q}$ $F^{p}$ $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {C}$ $(W_{n}/W_{n+1})\otimes \mathbb {C}$ $F^{p}$ ${\bar F}^{p}$ $n$

P. Deligne käsitteli työssään [ 3] sekoitettuja Hodge-rakenteita kompleksisen algebrallisen muunnelman (ei välttämättä kompaktin tai sileän ) kohemologiassa analogisena Galois-moduulin rakenteelle etale-kohomologiassa .

Hodge-rakenteilla on tärkeitä sovelluksia algebrallisessa geometriassa jaksokartoitusteoriassa ja tasaisten mappausten singulaarisuuksien teoriassa [ 4] .

Muistiinpanot

↑ Hodge WVD Tho -teoria ja harmonisten integraalien sovellukset. - 2 ed. - Cambridge, 1952.
↑ Griffiths, F., Harris, J. Algebrallisen geometrian periaatteet / Per. englannista. - M . : Mir, 1982. - T. 1. - 518 s.
↑ Deligne P. Proceedings of the International Congress of the Mathematicians (Vancouver, 1974). - 1975. - v. 1. - s. 70-85.
↑ Varchenko A. N. Nykyajan matematiikan ongelmat. - osa 22. - M., 1983. - s. 66-130. - (Tieteen ja tekniikan tuloksia).