Hodge-rakenne

Painon Hodge-rakenne tai puhdas Hodge-rakenne  on objekti, joka koostuu todellisen vektoriavaruuden hilasta ja kompleksisen vektoriavaruuden dekompositiosta , jossa , jota kutsutaan Hodge-hajotukseksi . Tässä tapauksessa ehdon on täytyttävä , missä  on kompleksikonjugaatti .

Muussa tapauksessa Hodge-hajoamista voidaan kuvata käyttämällä suodatuksen vähenemisen tai Hodge-suodatuksen käsitettä siten , että kun . Sitten aliavaruudet palautetaan kaavalla .

Tätä rakennetta kompaktin Kähler-jakoputken -ulotteisen kohomologian avaruudessa tutki ensimmäisenä W. Hodge [1] .

Tässä tapauksessa aliavaruuksia kuvataan tyyppisten harmonisten muotojen avaruuksiksi tai holomorfisten differentiaalimuotojen vyyhtojen kohomologiaksi [2] .

Hodge -suodatus syntyy nippukompleksin suodattamisesta, jonka -ulotteinen hyperkohomologia on isomorfinen muodon alakomplekseilla .

Mixed Hodge -rakenne

Yleisempi käsite on sekoitettu Hodge-rakenne - tämä on esine ,  joka koostuu hilasta , lisääntyvästä suodatuksesta tai painojen suodatuksesta , sisään ja vähentävästä suodatuksesta (Hodge-suodatus) siten , että suodatustilassa määritetään puhdas Hodge-rakenne. painoja .

P. Deligne käsitteli työssään [ 3] sekoitettuja Hodge-rakenteita kompleksisen algebrallisen muunnelman (ei välttämättä kompaktin tai sileän ) kohemologiassa analogisena Galois-moduulin rakenteelle etale-kohomologiassa .

Hodge-rakenteilla on tärkeitä sovelluksia algebrallisessa geometriassa jaksokartoitusteoriassa ja tasaisten mappausten singulaarisuuksien teoriassa [ 4] .

Muistiinpanot

  1. Hodge WVD Tho -teoria ja harmonisten integraalien sovellukset. - 2 ed. - Cambridge, 1952.
  2. Griffiths, F., Harris, J. Algebrallisen geometrian periaatteet / Per. englannista. - M . : Mir, 1982. - T. 1. - 518 s.
  3. Deligne P. Proceedings of the International Congress of the Mathematicians (Vancouver, 1974). - 1975. - v. 1. - s. 70-85.
  4. Varchenko A. N. Nykyajan matematiikan ongelmat. - osa 22. - M., 1983. - s. 66-130. - (Tieteen ja tekniikan tuloksia).