Supistunut tila

Supistettava avaruus on topologinen avaruus , joka vastaa homotooppisesti pistettä. Tämä ehto vastaa sanomista, että identiteettikartta on homotooppinen vakiokartan kanssa . $X$

Paikallisesti supistuva avaruus on topologinen avaruus, jonka jokaisella pisteellä on supistuva ympäristö .

Ominaisuudet

Avaruus on supistuva silloin ja vain, jos on olemassa sellainen, joka on muodonmuutoksen vetäytyminen avaruudessa . $X$ $x_{0}\in X$ $\{x_{0}\}$ $X$

Supistettavat tilat yhdistetään aina yksinkertaisesti ; päinvastainen väite ei päde yleisessä tapauksessa, supistuvuus on vahvempi rajoite kuin pelkkä yhteys.

Jokainen jatkuva kutistuvien tilojen kartta on homotopiaekvivalenssi. Mitkä tahansa kaksi jatkuvaa mielivaltaisen avaruuden karttaa supistuvaan avaruuteen ovat homotooppisia; lisäksi, jos mitkä tahansa kaksi jatkuvaa karttaa ovat homotooppisia, niin se on supistuva avaruus. $X$ $X$

Tietyn tilan kartio on supistuva tila, joten mikä tahansa tila voidaan upottaa supistuvaan tilaan, mikä puolestaan osoittaa, että kutistuvan tilan jokainen alitila ei ole supistuva. On myös supistettava, jos ja vain, jos sisäänveto tapahtuu . $\mathrm{C}X$ $X$ $X$ $X$ ${\mathrm {C}}X\to X$

Esimerkkejä ja vastaesimerkkejä

Puristuva -ulotteinen reaaliavaruus , mikä tahansa konveksi euklidisen avaruuden osajoukko, erityisesti - -ulotteinen pallo . $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

Äärettömässä -ulotteisessa Hilbert-avaruudessa oleva pallo on supistuva, mutta -ulotteiset euklidiset pallot eivät ole supistuvia. Mikä tahansa jatkuva -ulotteisen pallon kartoitus supistuvaan tilaan voidaan jatkuvasti laajentaa -ulotteiseksi palloksi . $n$ $n$ $n+1$

Muita merkittäviä kutistuvia tiloja ovat Whitehead-jakoputki (kolmiulotteinen monisto , ei homeomorfinen ), Mazur-jakosarja ( tasainen neliulotteinen jakoputkisto , jossa on raja, ei erilainen kuin nelipallo ), Bing-talo ja narrin lippis . $\mathbb {R} ^{3}$

Kaikki jakoputket ja CW-kompleksit ovat paikallisesti kutistuvia, mutta eivät yleisesti kutistuvia.

Kirjallisuus

E. Spanier. Algebrallinen topologia. - M .: Mir , 1971. - S. 39-42. - 680 s.