Subfactorial

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 26. kesäkuuta 2016 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 16 muokkausta .

Luvun n alitekijä (merkintä: !n ) määritellään kertaluvun n permutaatioiden lukumääräksi, eli kertaluvun n permutaatioiksi ilman kiinteitä pisteitä . Nimi subfactorial tulee analogiasta faktoriaalin kanssa , joka määrittää permutaatioiden kokonaismäärän.

Erityisesti !n on kuinka monta tapaa laittaa n kirjainta n kirjekuoreen (yksi kumpaankin) niin, että mikään niistä ei päädy vastaavaan kirjekuoreen (ns. "Kirjeongelma").

Eksplisiittinen kaava

Alitekijä voidaan laskea mukaan lukien poissulkemisperiaatteella :

!n=n!\left(1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+...+ (-1)^{n}{\frac {1}{n!}}\right)=n!\sum _{{k=0}}^{n}{\frac {(-1)^{k }}{k!}}

Muut kaavat

$!n={\frac {\Gamma (n+1,-1)}{e))$ , jossa tarkoittaa epätäydellistä gammafunktiota ja e on matemaattinen vakio; $\Gamma$
$!n=\left\lfloor {\frac {n!}{e}}\right\rceil$ , jossa tarkoittaa x :n lähintä kokonaislukua . $\left\lfloor x\right\rceil$
$!n=\left\lfloor {\frac {n!+1}{e}}\right\rfloor$ ( Mehdi Hassanin mukaan ), jossa tarkoittaa luvun kokonaislukuosaa . $\lfloor x\rfloor$
Muodolliset identiteetit ovat voimassa: ja , joissa on ymmärrettävä muodossa , ja - kuten . $Q^{n}=(P-1)^{n}$ $P^{n}=(Q+1)^{n}$ $P^{k}$ $k!$ $Q^{k}$ $!k$

Arvotaulukko

n	! n [1]
yksi	0
2	yksi
3	2
neljä	9
5	44
6	265
7	1854
kahdeksan	14 833
9	133 496
kymmenen	1 334 961
yksitoista	14 684 570
12	176 214 841
13	2 290 792 932
neljätoista	32 071 101 049
viisitoista	481 066 515 734
16	7 697 064 251 745
17	130 850 092 279 664
kahdeksantoista	2 355 301 661 033 953
19	44 750 731 559 645 100
kaksikymmentä	895 014 631 192 902 100

Ominaisuudet

${\displaystyle !n={!(n-1)}\cdot n+(-1)^{n))$
$!n=(n-1)\cdot ({!(n-1)}+{!(n-2)})$ ( itse faktoriaalilla on sama ominaisuus )
$!n=(n-1)\cdot a_{{n-2}},$

missä ja . Sarjan [2] alkuperäiset jäsenet :

\;a_{0}=a_{1}=1

{\displaystyle a_{n}=n\cdot a_{n-1}+(n-1)\cdot a_{n-2}={!(n+1)}+{!n))

a_n

1, 1 , 3 , 11 , 53 , 309, 2119, …

Numero 148349 on alitekijä , ts. on yhtä suuri kuin sen numeroiden alikertoimien summa (analogisesti kertoimen kanssa ):

148349={!1}+{!4}+{!8}+{!3}+{!4}+{!9}

(löytäjä JS Madachy, 1979)

Subfactorial on joskus sallittu matemaattisissa peleissä, kuten erilaisten tulosten saamisessa tietyistä luvuista (esimerkiksi peli Four Fours tunnetaan , jossa yhtäläisyys! 4 \u003d 9 voi olla hyödyllinen).

Muistiinpanot

↑ OEIS - sekvenssi A000166 = Alitekijä- tai rencontres-luvut tai poikkeamat: n elementin permutaatioiden lukumäärä ilman kiinteitä pisteitä
↑ OEIS - sekvenssi A000255 = a (n) laskee permutaatiot [1,...,n+1], joilla ei ole osamerkkijonoa [k,k+1]