Varjolaskenta

Varjolaskenta ( englanniksi Umbral calculus , edelleen latinasta umbra - "varjo") on matemaattinen menetelmä joidenkin algebrallisten identiteettien saamiseksi. 1970-luvulle asti termi viittasi tiettyjen näennäisesti toisiinsa liittymättömien algebrallisten identiteettien samanlaisuuteen sekä näiden identiteettien todistamiseen käytettyihin tekniikoihin. Näitä tekniikoita ehdotti John Blissard [1] , ja niitä kutsutaan joskus Blissardin symboliseksi menetelmäksi . Ne liitetään usein Edward Lucasin (tai James Joseph Sylvesterin ) ansioksi, joka käytti niitä laajasti [2] .

1930- ja 1940-luvuilla Eric Temple Bell yritti asettaa varjolaskennan tiukalle pohjalle.

1970-luvulla Stephen Roman, Gian-Carlo Rota ja muut kehittivät varjolaskennan lineaaristen funktionaalisten funktioiden merkityksessä polynomien avaruudessa. Tällä hetkellä varjolaskenta viittaa Schaeffer-sekvenssien tutkimukseen , mukaan lukien binomityyppisten polynomien sekvenssit ja Appel-sekvenssit , mutta se voi sisältää äärellisten erojen laskentatekniikoita .

Varjolaskenta 1800-luvulla

Menetelmä on merkintämenettely, jota käytetään tuloksena oleville identiteeteille, jotka sisältävät indeksoituja numerosarjoja, olettaen, että indeksit ovat potenssit . Kirjaimellinen käyttö on absurdia, mutta se toimii onnistuneesti - varjolaskennan avulla saadut identiteetit voidaan saada oikein monimutkaisemmilla menetelmillä, joita voidaan käyttää kirjaimellisesti ilman loogisia vaikeuksia.

Esimerkissä käytetään Bernoullin polynomeja . Tarkastellaan esimerkiksi tavallista binomilaajennusta (joka sisältää binomikertoimia ):

{\näyttötyyli (y+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{nk}x^{k))

ja huomattavan samankaltainen relaatio Bernoullin polynomeille :

B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{nk}(y)x^{k}.

Vertaamme myös ensimmäistä johdannaista

{\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}

hyvin samankaltaisella suhteella Bernoullin polynomeille:

{\frac {d}{dx}}B_{n}(x)=nB_{n-1}(x).

Nämä yhtäläisyydet mahdollistavat varjotodistusten rakentamisen , jotka ensi silmäyksellä eivät ehkä ole totta, mutta silti toimivat. Jos siis esimerkiksi ajatellaan, että indeksi on tutkinto: $nk$

B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b^{nk}x^{k}=(b+x)^{n},

erottelun jälkeen saamme halutun tuloksen:

B_{n}'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x).

Yllä olevissa kaavoissa on "umbra" (latinalainen sana "varjo"). $b$

Katso myös Faulhaber-kaava .

Taylorin varjo sijoittuu

Samanlaisia yhteyksiä on havaittu myös äärellisten erojen teoriassa . Taylor - sarjan varjoversio saadaan samanlaisilla lausekkeilla käyttämällä polynomin oikeanpuoleisia eroja , $k$ $\Delta ^{k}[f]$ $f$

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](0)}{k!))(x)_{k}

missä

(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)

on Pochhammer-symboli , jota käytetään tässä edustamaan laskevaa faktoraalia. Samanlainen suhde pätee vasemmanpuoleisiin eroihin ja kasvaviin tekijöihin.

Nämä sarjat tunnetaan myös nimellä Newtonin sarja tai Newtonin oikeanpuoleinen laajennus . Taylor-laajennuksen analogia käytetään äärellisen eron laskennassa .

Bell ja Riordan

1930- ja 1940-luvuilla Eric Temple Bell yritti turhaan tehdä tällaisesta väitteestä loogisesti ankaraa. John Riordan, joka työskenteli kombinatoriikan alalla, käytti tätä tekniikkaa laajasti kirjassaan Combinatorial Identities (Combinatorial Identities), joka julkaistiin 1960-luvulla.

Moderni varjolaskenta

Toinen kombinatoriikan alan tiedemies, Gian-Carlo Rota, huomautti, että mysteeri katoaa, jos tarkastellaan lineaarista funktionaalista funktiota , joka ylittää polynomien arvon , joka määritellään $L$ $z$

L\left(z^{n}\right)=B_{n}(0)=B_{n}.

Sitten voidaan kirjoittaa käyttämällä Bernoullin polynomien määritelmää ja lineaarisuuden määritelmää $L$

B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{nk}x^{k}=\sum _{k=0}^{n }{n \choose k}L\left(z^{nk}\right)x^{k}=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}z^{ nk}x^{k}\right)=L\left((z+x)^{n}\oikea).

Näin voit korvata merkinnän merkillä , eli siirtyä alemmasta indeksistä ylempään (varjolaskennan avaintoiminto). Voimme esimerkiksi nyt todistaa sen $B_{n}(x)$ $L((z+x)^{n})$ $n$

{\displaystyle B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{nk}(y)x^{k))

laajentamalla oikeaa puolta

\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{nk}(y)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left((z+y)^{nk}\oikea)x^{k}=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(z+y) )^{nk}x^{k}\right)=L\left((z+x+y)^{n}\right)=B_{n}(x+y).

Myöhemmin Rota väitti, että suuri osa hämmennystä johtui epäonnistumisesta erottaa kolmea tällä alueella ilmenevää ekvivalenssisuhdetta .

Vuonna 1964 julkaistussa artikkelissa Rota käytti varjomenetelmiä luodakseen rekursiokaavan , joka täyttyy Bell-luvuilla , jotka laskevat äärellisten joukkojen osioiden lukumäärän.

Romanin ja Rotan artikkelissa [3] varjolaskentaa kuvataan varjoalgebran (umbralalgebra) tutkimukseksi, joka määritellään lineaaristen funktionaalisten funktioiden algebraksi polynomien vektoriavaruuden yli ja lineaarifunktioiden tulolla , joka määritellään seuraavasti: $x$ ${\displaystyle L_{1}L_{2))$

\langle L_{1}L_{2}\mid x^{n}\rangle =\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\langle L_{1}\mid x ^{k}\rangle \langle L_{2}\mid x^{nk}\rangle .

Jos polynomijono korvaa lukujonon kuvina lineaarisessa kuvauksessa , varjomenetelmä näyttää olevan olennainen osa Rothin yleistä erityispolynomiteoriaa, ja tämä teoria on varjolaskentaa joidenkin termin nykyaikaisempien määritelmien mukaan [4 ] . Pieni esimerkki tästä teoriasta löytyy artikkelista binomityyppisten polynomien sarjasta . Toinen artikkeli on Schaeffer Sequence . ${\displaystyle y^{n))$ $L$

Myöhemmin Rota sovelsi varjolaskentaa laajasti Shenin kanssa yhteisessä paperissa tutkiakseen erilaisia puoliinvarianttien kombinatorisia ominaisuuksia [ 5] .

Muistiinpanot

↑ Blissard, 1861 .
↑ Bell, 1938 , s. 414–421.
↑ Roman, Rota, 1978 , s. 95–188.
↑ Rota, Kahaner, Odlyzko, 1973 , s. 684.
↑ Rota, Shen, 2000 , s. 283–304.

Kirjallisuus

Bell ET Blissardin symbolisen menetelmän historia ja luonnos sen keksijän elämästä // The American Mathematical Monthly . - Mathematical Association of America , 1938. - V. 45 , no. 7 . — S. 414–421 . — ISSN 0002-9890 . — .
John Blissard. Geneeristen yhtälöiden teoria // Puhtaan ja sovelletun matematiikan neljännesvuosittain ilmestyvä lehti. - 1861. - T. 4 . — S. 279–305 .
Steven M. Roman, Gian-Carlo Rota. The umbral calculus // Advances in Mathematics. - 1978. - T. 27 , no. 2 . — S. 95–188 . — ISSN 0001-8708 . - doi : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 .
Rota GC, Kahaner D., Odlyzko A. Kombinatorisen teorian perusteista. VIII. Äärillinen operaattorilaskenta // Journal of Mathematical Analysis and its Applications. - 1973. - Kesäkuu ( nide 42 , numero 3 ). - S. 684 . - doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . Uusintapainos samannimisessä kirjassa, Academic Press, New York, 1975.

Steve Roman. Sateenvarjolaskenta . – Lontoo: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1984. - Vol. 111. - (Puhas ja sovellettu matematiikka). — ISBN 978-0-12-594380-2 . . Uusintapainos Dover, 2005.
Roman S. Umbral calculus // Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Rota G.-C. , Shen J. Kumulanttien kombinatoriikasta // Journal of Combinatorial Theory. - 2000. - T. 91 . — S. 283–304 .

Linkit

Weisstein, Eric W. Umbral Calculus (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
A. Di Bucchianico, D. Loeb. Umbral Calculus -tutkimus // Electronic Journal of Combinatorics . - 2000. - T. DS3 . Arkistoitu alkuperäisestä 24. helmikuuta 2012.
Roman, S. (1982), Theory of the Umbral Calculus, I