Vähenevät ja lisääntyvät tekijät

Laskeva tekijä [1] (kutsutaan joskus alemmaksi , asteittain laskevaksi tai laskevaksi faktoriaaliksi [2] [3] ) kirjoitetaan käyttämällä Pochhammer-symbolia ja se määritellään

(x)_{n}=x^{\alleviivaus {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-(n-1))=\prod _{k= 1}^{n}(x-(k-1))=\prod _{k=0}^{n-1}(xk).

Kasvava faktoriaali (joskus nimet Pochhammer-funktio , Pochhammer- polynomi [4] , ylempi , asteittain kasvava tai nouseva faktoriaali [2] [3] ) määritellään seuraavasti:

x^{(n)}=x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+(n-1))=\prod _{k=1 }^{n}(x+(k-1))=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).

Molempien kertoimien arvoksi otetaan 1 ( tyhjä tulo ), kun n = 0.

Leo August Pochhammerin ehdottama Pochhammer-symboli on merkintä , jossa on ei- negatiivinen kokonaisluku . Kontekstista riippuen Pochhammer-symboli voi edustaa laskevaa faktoriaalia tai kasvavaa faktoriaalia, kuten edellä on määritelty. On oltava varovainen tulkittaessa symbolia missä tahansa artikkelissa. Pochhammer itse käytti merkintää , jolla oli täysin eri merkitys, nimittäin binomikerrointa [5] . $(x)_{n}$ $n$ $(x)_{n}$ ${\binom {x}{n))$

Tässä artikkelissa symbolia käytetään edustamaan laskevaa faktoraalia ja symbolia edustamaan kasvavaa faktoraalia. Nämä sopimukset hyväksytään kombinatoriikassa [6] . Erikoisfunktioiden (erityisesti hypergeometrisen funktion ) teoriassa Pochhammer-symbolia käytetään edustamaan kasvavaa tekijää [7] Lucy Slaterin kirjassa [8] on hyödyllinen luettelo kaavoista kasvavien faktoriaalisten manipuloimiseksi tässä viimeisessä merkinnässä . Knuth käytti termiä faktoriaalivoimat, joka sisältää kasvavat ja laskevat faktoriaalit [9] $(x)_{n}$ ${\displaystyle x^{(n)))$ $(x)_{n}$

Jos x on ei-negatiivinen kokonaisluku, niin se antaa x -elementtijoukon n -permutaatioiden lukumäärän tai vastaavasti injektioiden lukumäärän joukosta, jossa on n alkiota, joukkoon, jonka koko on x . Näille arvoille käytetään kuitenkin muita merkintöjä, kuten P ( x ,n ). Pochhammer-symbolia käytetään enimmäkseen algebrallisiin tarkoituksiin, esimerkiksi kun x on tuntematon suure, jolloin se tarkoittaa tiettyä polynomia x - asteella n . $(x)_{n}$ ${\näyttötyyli _{x}P_{n}}$ $(x)_{n}$

Esimerkkejä

Ensimmäiset kasvavat tekijät:

x^{(0)}=x^{\overline {0}}=1

x^{(1)}=x^{\overline {1}}=x

x^{(2)}=x^{\overline {2}}=x(x+1)=x^{2}+x

x^{(3)}=x^{\overline {3}}=x(x+1)(x+2)=x^{3}+3x^{2}+2x

x^{(4)}=x^{\overline {4}}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^{4}+6x^{3}+ 11x^{2}+6x

Ensimmäiset pienenevät tekijät:

(x)_{0}=x^{\alleviivaus {0}}=1

(x)_{1}=x^{\alleviivaus {1}}=x

(x)_{2}=x^{\alleviivaus {2}}=x(x-1)=x^{2}-x

(x)_{3}=x^{\alleviivaus {3}}=x(x-1)(x-2)=x^{3}-3x^{2}+2x

(x)_{4}=x^{\alleviivaus {4}}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^{4}-6x^{3}+ 11x^{2}-6x

Hakasulkeiden avaamisesta saadut kertoimet ovat ensimmäisen tyyppisiä Stirling-lukuja .

Ominaisuudet

Kasvavia ja pienentäviä kertoimia voidaan käyttää ilmaisemaan binomiaalikertoimia :

{\frac {x^{(n)}}{n!}}={x+n-1 \choose n}

{\frac {(x)_{n}}{n!}}={x \choose n}.

Sitten monet binomikertoimien identiteetit siirtyvät kasvaviin ja laskeviin kertoimiin.

Kasvava faktoriaali voidaan ilmaista pienenevänä faktoriaalina, joka alkaa toisesta päästä,

x^{(n)}={(x+n-1)}_{n},

tai laskevana faktoriaalina päinvastaisella argumentilla,

x^{(n)}={(-1)}^{n}{(-x)}_{n}.

Kasvavat ja pienenevät tekijät ovat hyvin määriteltyjä missä tahansa yksikkörenkaassa , ja siksi x voi olla esimerkiksi kompleksiluku , negatiivinen luku, polynomi kompleksikertoimilla tai mikä tahansa kompleksifunktio .

Kasvava tekijä voidaan laajentaa n: n todellisiin arvoihin käyttämällä gammafunktiota :

x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)))),

ja samalla tavalla laskeva tekijä:

(x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1))).

Jos merkitsemme D :llä ottamalla x :n derivaatan , saamme

D^{n}(x^{a})=(a)_{n}\,\,x^{an}.

Pochhammer-symboli on olennainen osa hypergeometrisen funktion määritelmää - hypergeometrinen funktio on määritelty | z | < 1 tehosarja

\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a^{(n)}b^{(n) } \over c^{(n)}}\,{z^{n} \over n!}

edellyttäen, että c ei ole 0, −1, −2, ... . Huomaa kuitenkin, että hypergeometristä funktiota käsittelevässä kirjallisuudessa kasvava faktoriaali on merkitty . ${(a)}_{n}$

Yhteys varjolaskennassa

Pienevä tekijä esiintyy kaavassa, joka edustaa polynomeja käyttämällä äärellisen eron operaattoria ja joka on muodollisesti samanlainen kuin Taylorin lause . Tässä kaavassa ja monissa muissa paikoissa äärellisten erojen laskemisen pienenevä tekijä vaikuttaa derivaatan laskemiseen. Huomaa esimerkiksi samankaltaisuus $\vartriangle$ ${\näyttötyyli (x)_{k))$ $x^{k}$

\Delta (x)_{k}=k\ (x)_{k-1},

päällä

Dx^{k}=k\ x^{k-1},

Samankaltaiset tosiasiat pätevät lisääntyviin faktoriaaleihin.

Tämän tyyppisten analogioiden tutkiminen tunnetaan nimellä " varjolaskenta " [10] . Pääteoria, joka kuvaa tällaisia suhteita, mukaan lukien pienenevät ja kasvavat funktiot, on otettu huomioon binomityyppisten polynomisekvenssien ja Schaeffer-sekvenssien teoriassa . Kasvavat ja pienenevät tekijät ovat binomityyppisiä Schaeffer-sekvenssejä, kuten seuraavat suhteet osoittavat:

{\näyttötyyli (a+b)^{(n)}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(a)^{(nj)}(b)^{(j) }}

{\näyttötyyli (a+b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(a)_{nj}(b)_{j))

jossa kertoimet ovat samat kuin binomiaalisen Vandermonde-identiteetin potenssisarjalaajennuksessa ).

Vastaavasti Pochhammer-polynomien generoiva funktio on tällöin yhtä suuri kuin varjoeksponenttien summa,

\sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}~{\frac {t^{n}}{n!)}}=(1+t)^{x} ~ ,

vuodesta . ${\displaystyle \vartriangle (1+t)^{x}=t(1+t)^{x))$

Kytkentäkertoimet ja identiteetit

Pienevät ja kasvavat tekijät liittyvät toisiinsa käyttämällä Lach-lukuja ja käyttämällä muuttujan kokonaislukupotenssien summia käyttämällä toisen tyyppisiä Stirling-lukuja seuraavasti (tässä ): [11] $x$ ${\binom {r}{k}}=r^{\alleviivaus {k}}/k!$

{\begin{aligned}x^{\underline {n}}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac { n!}{k!}}\times (x)_{k}\\&=(-1)^{n}(-x)_{n}=(x-n+1)_{n}= {\frac {1}{(x+1)^{\overline {-n))))\\(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\binom { n}{k}}(n-1)^{\alleviivaus {nk}}\kertaa x^{\alleviivaus {k}}\\&=(-1)^{n}(-x)^{\alleviivaus {n}}=(x+n-1)^{\alleviivaus {n}}={\frac {1}{(x-1)^{\alleviivaus {-n}}}}\\&={\ binomi {-x}{n}}(-1)^{n}n!\\&={\binom {x+n-1}{n}}n!\\x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\nk\end{matrix}}\right\}x^{\alleviivaus {nk}}\\&=\sum _ {k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(-1)^{nk}(x)_{k}.\ loppu{tasattu}}

Koska pienenevät tekijät ovat polynomirenkaan perusta , voimme ilmaista niiden kahden tulon pienenevien tekijöiden lineaarisena yhdistelmänä:

(x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{n \choose k}k!\,(x)_ {m+nk}.

Kertoimia at kutsutaan kytkentäkertoimiksi, ja niillä on kombinatorinen tulkinta tapana liimata k elementtiä m elementin joukosta ja n elementin joukosta. Meillä on myös yhteyskaava kahden Pochhammer-symbolin suhteelle ${\näyttötyyli (x)_{m+nk))$

{\frac {(x)_{n}}{(x)_{i}}}=(x+i)_{ni},\ n\geq i.

Lisäksi voimme laajentaa yleistä tehosääntöä ja negatiivisia kasvavia ja laskevia potenssia seuraavilla identiteeteillä:

{\begin{align}x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}\\(x)_{m+n}& =(x)_{m}(xm)_{n}\\(x)_{-n}&={\frac {1}{(xn)_{n))}={\frac {1} {(x-1)^{\alleviivaus {n}}}}\\x^{\alleviivaus {-n}}&={\frac {1}{(x+1)_{n}}}={ \frac {1}{n!{\binom {x+n}{n))))={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n))). \end{aligned}}

Lopuksi kertolaskujen tuplauskaava ja kertolasku antavat seuraavat suhteet:

(x)_{k+mn}=(x)_{k}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+j+ k }{m}}\oikea)_{n},\ m\in \mathbb {N}

(ax+b)_{n}=x^{n}\prod _{k=0}^{x-1}\left(a+{\frac {b+k}{x))\right )_{n/x},\ x\in \mathbb {Z} ^{+}

(2x)_{2n}=2^{2n}(x)_{n}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)_{n}.

Vaihtoehtoiset nimitykset

Vaihtoehtoinen merkintäfaktoriaalin lisääminen

x^{\overline {m}}=\overline {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m~\mathrm {factors} }

kokonaisuudelle

m\geq 0,

Ja laskevalle faktoriaalille

x^{\alleviivaus {m}}=\yliviiva {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m~\mathrm {factors} }

kokonaisuudelle

m\geq 0;

juontaa juurensa A. Capelliin (1893) ja L. Toscanoon (1939) [12] . Graham, Knuth ja Patashnik [13] ehdottivat tämän ilmaisun lausumista "lisää x m : llä " ja "pienennä x m : llä".

Muita merkintöjä pienentävälle kertoimelle ovat tai . (Katso artikkelit " Permutaatio " ja " Yhdistelmä ".) ${\displaystyle P(x,n),^{x}P_{n},P_{x,n))$ ${\näyttötyyli _{x}P_{n}}$

Vaihtoehtoista merkintää faktoriaalin lisäämiseksi käytetään harvemmin. Sekaannusten välttämiseksi, kun käytetään kasvavan faktoriaalin merkintää, tavallisen pienenevän faktoriaalin merkintä on [5] . ${\näyttötyyli (x)_{n}^{+))$ ${\displaystyle x^{(n)))$ ${\näyttötyyli (x)_{n}^{+))$ ${\näyttötyyli (x)_{n}^{-))$

Yleistykset

Pochhammer-symbolilla on yleistetty versio, jota kutsutaan yleistetyksi Pochhammer-symboliksi , ja sitä käytetään monimuuttuja- analyysissä . On myös q -analogi , Pochhammer q -symboli .

Pienevän tekijän yleistys, jossa funktiota arvioidaan laskevalla aritmeettisella progressiolla:

[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(xh)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),

Kasvavan faktoriaalin vastaava yleistys

[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).

Tämä merkintätapa yhdistää kasvavat ja laskevat tekijät, jotka ovat yhtä suuria ja vastaavasti. $[x]^{\tfrac {k}{1))$ $[x]^{\tfrac {k}{-1))$

Kaikille kiinteille aritmeettisille funktioille ja symbolisille parametreille muodon yleiset tulot $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$ ${\näyttötyyli x,t}$

(x)_{n,f,t}:=\prod _{k=1}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k)) }\oikea)

voidaan tutkia ensimmäisen tyyppisten yleistettyjen Stirling-lukujen luokissa, jotka on määritelty käyttämällä seuraavia kertoimia at laajennuksessa ja käyttämällä sitten seuraavaa toistuvuussuhdetta: $x$ ${\näyttötyyli (x)_{n,f,t))$

{\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=[x^{k-1}](x )_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right] _{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}

Nämä kertoimet täyttävät lukuisia samanlaisia ominaisuuksia kuin ensimmäisen tyypin Stirling-luvut , sekä f-harmonisiin lukuihin liittyvät toistuvuussuhteet ja funktionaaliset yhtäläisyydet [14] . ${\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}t^{k}/f(k)^{r))$

Katso myös

k - Pochhammer-symboli
Vandermonden identiteetti

Muistiinpanot

↑ Koganov, 2007 .
↑ 1 2 Lando, 2008 .
↑ 1 2 Traub, 1985 , s. 106.
↑ Steffensen, 1950 , s. kahdeksan.
↑ 1 2 Knuth, 1992 , s. 403–422.
↑ Olver, 1999 , s. 101.
↑ Esimerkiksi Abramovichin ja Stegunin kirjassa "Handbook of Mathematical Functions", s. 256
↑ Slater, 1966 , s. liite I.
↑ Knuth, The Art of Computer Programming, Voi. 1, 3. painos, s. viisikymmentä.
↑ Lukuisten yhteisten ominaisuuksien läsnäolo binomisekvensseissä nähtiin pitkään mysteerinä ja selittämättömänä, minkä vuoksi heidän tutkimustaan kutsuttiin umbral calculukseksi, ts. varjolaskenta ( Lando 2008 ).
↑ Johdatus kertoimiin ja binomiaaleihin . Wolfram Functions -sivusto . (määrätön)
↑ Knuthin mukaan The Art of Computer Programming, Voi. 1, 3. painos, s. viisikymmentä.
↑ Graham, Knuth, Patashnik, 1988 , s. 47-48.
↑ Yleistettyjen Stirling-lukujen kombinatoriset identiteetit, jotka laajentavat f-tekijäfunktioita ja f-harmonisia lukuja (2016).

Kirjallisuus

Koganov L.M. Kaksi tehtävää // Informatiikka. - 2007. - Ongelma. 10 .

Lando S.K. Shadow Calculus // Kesäkoulu "Moderni matematiikka". - 2008. - Ongelma. 2 oppitunti . Arkistoitu alkuperäisestä 15. joulukuuta 2017.
Traub J. Iteratiiviset menetelmät yhtälöiden ratkaisemiseksi. - M . : "Mir", 1985.
Steffensen JF -interpolointi. – 2. - Dover Publications, 1950. - S. 8. - ISBN 0-486-45009-0 .
Donald E. Knuth. Kaksi huomautusta merkinnöistä // American Mathematical Monthly

tilavuus = 99. - 1992. - Numero. 5 . — S. 403–422 . - doi : 10.2307/2325085 . - arXiv : math/9205211 . — .. Huomautus Pochhammer-symboleista on sivulla 414. Donald E. Knuth. Tietokoneohjelmoinnin taide. - 3. painos .. - 1997. - T. 1. - S. 50. - ISBN 0-201-89683-4 .

- Donald E. Knuth. 1.2.5 Permutaatiot ja tekijät // Ohjelmoinnin taito. - kolmas painos. - Williams, 2002. - V. 1 Perusalgoritmit. - ISBN 978-5-8459-1984-7 , 978-5-8459-0080-7.
Ronald L. Graham , Donald Knuth , Oren Patashnik . Konkreettinen matematiikka . - Addison-Wesley, Reading MA, 1988. - ISBN 0-201-14236-8 .
Peter J Olver. Klassinen invarianttiteoria. - Cambridge University Press, 1999. - ISBN 0-521-55821-2 .
Lucy J. Slater. Yleistetyt hypergeometriset funktiot . - Cambridge University Press, 1966.

Linkit

Weisstein, Eric W. Pochhammer -symboli (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Perustodisteet