Q Pochhammer-symboli

Q -Pochhammer-symboli , jota kutsutaan myös siirretyksi q - faktoriaaliksi [1] [2] , on Pochhammer - symbolin q -analogi ja se määritellään

(a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1- aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})

jossa

(a;q)_{0}=1

määritelmän mukaan. Q -Pochhammer -symboli on q -analogien rakentamisen päärakennuspalikka . Esimerkiksi hypergeometristen perussarjojen teoriassa Pochhammer q -symbolilla on sama rooli kuin tavallisella Pochhammer-symbolilla yleistettujen hypergeometristen sarjojen teoriassa .

Toisin kuin tavallinen Pochhammer-symboli, q -Pochhammer-symboli voidaan laajentaa äärettömään tuotteeseen:

(a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).

Se on q: n analyyttinen funktio yksikköympyrän sisällä ja sitä voidaan pitää q : n muodollisena potenssisarjana . erikoistapaus

\varphi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})

tunnetaan nimellä Euler-funktio ja sillä on tärkeä rooli kombinatoriikassa , lukuteoriassa ja modulaaristen muotojen teoriassa .

Identiteetit

Lopputulos voidaan ilmaista äärettömänä:

(a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},

joka laajentaa negatiivisten kokonaislukujen n määritelmää . Näin ollen ei-negatiiviselle n :lle meillä on

(a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n))}=\prod _{k=1}^{n} {\frac {1}{(1-a/q^{k})}}

(a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_ {n}}}.

Q -Pochhammer-symboli on osallisena monissa identiteetissä q -sarjan kanssa, erityisesti sarjan äärettömässä laajentamisessa

(x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2 }}{(q;q)_{n}}}x^{n}

{\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q; q)_{n}}}

jotka ovat q-binomilauseen erikoistapauksia :

{\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {( a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.

Friedrich Karpelevich löysi seuraavan henkilöllisyyden (katso Olshanetskyn ja Rogovin artikkeli [3] todisteeksi):

{\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {( -1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.

Kombinatorinen tulkinta

Q -Pochhammer-symboli liittyy läheisesti osioiden numeratiiviseen kombinatoriikkaan. Kerroin in ${\displaystyle q^{m}a^{n))$

{\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1))

on yhtä suuri kuin osioiden lukumäärä m enintään n osaan.

Koska tämä on sama kuin m :n jakaminen osiin, joista jokainen ei ylitä n :ää , saamme seuraavan identiteetin:

(a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q )_{k}}}

kuten yllä olevassa osiossa.

Kerroin in ${\displaystyle q^{m}a^{n))$

(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})

on yhtä suuri kuin luvun m osioiden lukumäärä n tai n -1 eri osaan.

Jos poistamme tällaisesta osiosta kolmioosion, jossa on n − 1 osaa, jää jäljelle osio enintään n osaan. Tämä antaa painoa säilyttävän osion väliseinän joukon välillä n tai n − 1 eri osaan ja parien joukon, joka koostuu kolmiomaisesta väliseinästä, joka sisältää n − 1 osaa, ja osion enintään n osaan. Tämä johtaa identiteettiin:

(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j))}\right)a^{k}=\ summa _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}

myös edellä kuvattu. Käänteinen (merkityksessä 1/f) funktiolle syntyy samalla tavalla kuin generoiva funktio lukuosiofunktiolle , joka myös laajenee kahdeksi seuraavaksi q-sarjaksi [4] : ${\displaystyle (q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty ))$ $p(n)$

{\frac {1}{(q;q)_{\infty ))}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0 }{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q ;q)_{n}^{2}}}.

Itse Q-binomiaalilause voidaan todistaa käyttämällä hieman enemmän samanlaisia kombinatorisia argumentteja.

Multiple Argument Convention

Koska Pochhammerin q -symboleja käyttävät identiteetit käyttävät usein useiden symbolien tuloa, on tapana kirjoittaa tuote yhdeksi symboliksi useilla argumenteilla:

(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_ {n}\ldots (a_{m};q)_{n}.

Q -sarja

Q -sarja on sarja , jossa kertoimet ovat q :n funktioita , yleensä lausekkeiden muodossa, joissa on [4] . Varhaiset tulokset johtuvat Eulerista , Gaussista ja Cauchystä . Systemaattisen tutkimuksen aloitti Eduard Heine (1843) [5] . ${\näyttötyyli (a;q)_{n))$

Suhde muihin q -funktioihin

Ottaen huomioon sen

\lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n,

määritämme luvun n q - analogin , joka tunnetaan myös q - sulkeena tai luvun n q - numerona

[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.

Tästä voimme määritellä faktoriaalin q -analogin , q - faktoraalin

${\big [}n]_{q}!$	${\displaystyle =\prod _{k=1}^{n}[k]_{q))$
	${\displaystyle =[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n-1]_{q}[n]_{q))$
	$={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1 }}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}$
	$=1(1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})(1+q+\cdots +q^{n-1})$
	$={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.$

Jälleen voidaan havaita, että tavallinen tekijä on yhtä suuri kuin raja, koska q pyrkii olemaan 1. Tämä voidaan tulkita lippujen lukumääräksi n - ulotteisessa vektoriavaruudessa kentässä, jossa on q - elementtejä, ja ohittaa q :n rajassa 1 antaa tulkinnan järjestyksestä lippuna vektoriavaruudessa yhden elementin kentän päällä .

Negatiivisten kokonaislukujen q -sulkujen tulo voidaan ilmaista q -tekijän avulla seuraavasti:

\prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]_{q}!}{q^ {n(n+1)/2}}}

q - tekijöistä voidaan edetä q - binomikertoimien , jotka tunnetaan myös nimellä Gaussin kertoimet , Gaussin polynomit tai Gaussin binomikertoimet , määrittelyyn seuraavasti .

{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[nk]_{q}![k]_ {q}!}},

mistä on helppo nähdä, että näiden kertoimien kolmio on symmetrinen siinä mielessä, että kaikille . ${\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\nm\end{bmatrix}}_{q}$ $0\leqslant m\leqslant n$

Sen voi osoittaa

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_ {q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k- 1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}

Edellisistä rekursiivisista suhteista voidaan nähdä, että seuraavat -binomiaalilauseen variantit ovat näiden kertoimien laajennuksia [6] : $q$

{\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{ q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(- q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j }\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q} (-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m \\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}

Voidaan saada gammafunktion q - analogi , jota kutsutaan q-gammafunktioksi ja joka määritellään

{\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_ {\infty ))))

Funktio konvergoi tavalliseen gammafunktioon, koska q pyrkii arvoon 1 levyn sisältä. huomaa, että

\Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)

mille tahansa x :lle ja

\Gamma _{q}(n+1)=[n]_{q}!{\frac {}{}}.

n: n ei-negatiivisille kokonaislukuarvoille . Vaihtoehtoisesti funktio voidaan pitää q -tekijän jatkeena reaalilukujärjestelmässä.

Katso myös

Perushypergeometrinen sarja
Elliptinen gammafunktio
Jacobi theta -funktio
Pochhammer-symboli
q-johdannainen
q-theta-funktio
Viisikulmainen lukulause
Rogers-Ramanujan Identities
Rogers jatkoi murtoluku - Ramanujan
q-Vandermonde-identiteetti

Muistiinpanot

↑ Koekoek, Swarttouw, 1998 , s. 7.
↑ Bahtin, 2017 , s. 6-7.
↑ Olshanetsky, Rogov, 1996 .
↑ 12. Berndt , 2010 .
↑ Heine, 1847 .
↑ Olver et ai., 2010 , s. 421.

Kirjallisuus

Koekoek R., Swarttouw RF Hypergeometristen ortogonaalisten polynomien Askey-kaavio ja sen -analogi // Teknisen matematiikan ja informatiikan tiedekunnan raportti 98-17. - Delft, Alankomaat: Technische Universiteit Delft, 1998. - P. 7.
Bahtin A.B. Reaalipolynomin yleistetyn diskriminantin laskenta . - Moskova, 2017. - S. 6-7. — (M.V. Keldyshin mukaan nimetyn IPM:n esipaineet).
George Gasper, Mizan Rahman. Hypergeometrinen perussarja // Matematiikan tietosanakirja ja sen sovellukset. – 2. - Cambridge: Cambridge University Press, 2004. - V. 96. - ISBN 0-521-83357-4 .
Roelof Koekoek, Rene F. Swarttouw. Ortogonaalisten polynomien Askey-kaavio ja sen q-analogit .
Exton H. q-Hypergeometriset funktiot ja sovellukset. - New York, Chichester: Halstead Press, Ellis Horwood, 1983. - ISBN 0853124914 .
Olshanetsky M.A., Rogov V.-B.K. Muokatut Besselin q-funktiot ja Macdonaldin q-funktiot // Matem. Lauantai - 1996. - T. 187 , nro 10 . - S. 109-128 .
NIST Handbook of Mathematical Functions / Frank WJ Olver, Daniel W. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark. - Osio 17.2: NIST, Cambridge University Press, 2010. - S. 421. - ISBN 978-0-521-19225-5 .
Berndt BC Proceedings of a Conference on Elliptic Functions, Partitions ja q-Series K. Venkatachaliengarin muistoksi: Bangalore, 1.–5. kesäkuuta 2009 / ND Baruah, BC Berndt, S. Cooper, T. Huber ja MJ Schlosser, toim. .. - Mysore: Ramanujan Mathematical Society, 2010. - P. 31-51 .
Heine E. Untersuchungen über die Reihe // J. Reine Angew. Matematiikka.. - 1847. - T. 34 . - S. 285-328 .

Linkit

Weisstein, Eric W. q -Analog (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. q -Bracket (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. q -Factorial (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. q -Series (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. q -Binomial Coefficient (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .