Q-johdannainen

Q - derivaata tai Jackson-derivaata onFrank Hilton Jacksonin ehdottaman tavallisen derivaatan q - analogi . Q -derivaata on Jacksonin q -integraation käänteis. Muita q-johdannaisia löytyy artikkelista K.S. Changa, V.S. Changa, S.T. Nama ja H.J. Cana [1] .

Määritelmä

F ( x ) funktion Q -derivaata määritellään seuraavasti

\left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.

ja se kirjoitetaan usein nimellä . Q - derivaata tunnetaan myös nimellä Jackson-derivaata . $D_{q}f(x)$

Muodollisesti tämä vastaa Lagrangen siirtooperaattoria logaritmisissa muuttujissa

D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,

joka johtaa tavalliseen derivaatta, → d ⁄ dx kuin q → 1.

Operaattori on selvästi lineaarinen,

\displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.

Q -johdannaisella on tavallisen johdannaisen tulosäännön kaltainen tulosääntö kahdessa ekvivalentissa muodossa

\displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx) D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).

Samoin q - derivaatta täyttää jakosäännön,

\displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x) }{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.

Myös funktioiden superpositiolle on olemassa sääntö, joka on samanlainen kuin tavallinen differentiointisääntö. Anna . Sitten ${\displaystyle g(x)=cx^{k))$

\displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).

q -derivaatan ominaisfunktio on q - eksponentiaalinen funktio e q ( x ).

Suhde tavallisiin johdannaisiin

Q -derivaatio muistuttaa tavallista erilaistumista, jossa on omituisia eroja. Esimerkiksi monomin q - derivaatta on

\left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{ n-1} =[n]_{q}z^{n-1}

missä on luvun n hakasulke . _ Huomaa, että , jotta tavallinen johdannainen palaa rajassa. ${\näyttötyyli [n]_{q))$ $\lim _{q\to 1}[n]_{q}=n$

Funktiolle n:s q - derivaatta voidaan antaa seuraavasti:

(D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!)}}{\frac {(q;q)_{ n }}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]_{q}!

edellyttäen, että funktion f tavallinen n:s derivaatta on olemassa kohdassa x = 0. Tässä on q -Pochhammer -symboli ja q - faktoriaali . Jos funktio on analyyttinen, voimme määrittää Taylorin kaavan ${\näyttötyyli (q;q)_{n))$ $[n]_{q}!$ $f(x)$ ${\näyttötyyli D_{q}(f(x))}$

\displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)! }}x^{k}f^{(k+1)}(x).

Q on analogi lähellä nollaa olevan funktion Taylor-laajennuksesta:

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!)}}= \ summa _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}

Katso myös

Johdannainen (matematiikka)
Inegral Jackson
Q eksponentiaalinen funktio
Q-eropolynomit
Kvanttilaskenta
Tsalliksen entropia

Muistiinpanot

↑ Chung, Chung, Nam, Kang, 1994 .

Kirjallisuus

Jackson FH q-funktioista ja tietystä erooperaattorista // Trans. Roy. soc. Edin.. - 1908. - T. 46 . - S. 253-281 .
Exton H. q-Hypergeometriset funktiot ja sovellukset. - New York, Chichester: Halstead Press; Ellis Horwood, 1983. - ISBN 0853124914 .
Victor Kac, Pokman Cheung. Kvanttilaskenta. - Springer-Verlag, 2002. - (Universitex). — ISBN 0-387-95341-8 .
Chung KS, Chung WS, Nam ST, Kang HJ Uusi q-derivaata ja q-logaritmi // International Journal of Theoretical Physics. - 1994. - T. 33 . — S. 2019-2029 .

Lue lisää lukemista varten

J. Koekoek, R. Koekoek, Huomautus q-johdannaisoperaattorista , (1999) ArXiv math/9908140
Thomas Ernst, The History of q-Calculus and a new method , (2001),