Jacksonin integraali

Erikoisfunktioiden teorian Jacksonin integraali heijastaa q -derivaation käänteistä toimintaa .

Jackson-integraalin esitteli Frank Hilton Jackson.

Määritelmä

Antaa olla todellisen muuttujan funktio . Jacksonin integraali for määritellään seuraavaksi sarjaksi: $f(x)$ $x$ $f$

\int f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k} f(q^{k}x).

Jos se on toinen funktio ja tarkoittaa sen -johdannaista, se voidaan kirjoittaa muodollisesti: $g(x)$ $D_{q}g$ $q$

\int f(x)\,D_{q}g\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\ infty }q^{k}f(q^{k}x)\,D_{q}g(q^{k}x)=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{ \infty }q^{k}f(q^{k}x){\tfrac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q ^{k}x}},

tai:

\int f(x)\,{\rm {d}}_{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)\ cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),

Tuloksena on Riemann -Stieltjes-integraalin -analogi . $q$

Jacksonin integraali q-johdannaisena

Aivan kuten jatkuvan kuvauksen tavallinen antiderivaata voidaan esittää Riemannin integraalilla , niin Jacksonin integraali antaa ainutlaatuisen q -antiderivaatan jollekin funktioluokalle (katso Kempfin ja Majidin artikkelit [1] ).

Lause

Jos oletetaan, että ja jos arvo on rajoittunut joidenkin väliin, niin Jacksonin integraali konvergoi funktioon , joka on q -derivaata . Lisäksi on jatkuva c :llä ja se on antiderivatiivinen funktio tässä funktioluokassa [2] . $0<q<1$ $|f(x)x^{\alpha }|$ ${\näyttötyyli [0,A)}$ $0\leqslant \alpha <1,$ $F(x)$ ${\näyttötyyli [0,A)}$ $f(x)$ $F(x)$ $x=0$ $F(0) = 0$ $f(x)$

Muistiinpanot

↑ Kempf, Majid, 1994 , s. 6802.
↑ Kac, Cheung, 2002 , s. Lause 19.1.

Kirjallisuus

Victor Kac, Pokman Cheung. Kvanttilaskenta. - Springer-Verlag, 2002. - (Universitex). — ISBN 0-387-95341-8 .
Jackson FH Funktioiden Γ(n) ja x n yleistys // Proc. R. Soc. - 1904. - T. 74 . — S. 64–72 .
Jackson FH q-määräisillä integraaleilla // QJ Pure Appl. Matematiikka.. - 1910. - T. 41 . — S. 193–203 .
Algebrallinen q-integraatio ja Fourier-teoria kvantti- ja punottuista tiloista // J. Math. Phys.. - 1994. - Numero. 35 . - S. 6802 . - doi : 10.1063/1.530644 .
Kempf A., Majid S. Algebrallinen q-integraatio ja Fourier-teoria kvantti- ja punottuista avaruksista, arxiv-versio . Haettu: 24.4.2015. (määrätön)