Kaavio eroilla virtausta vastaan

Laskennallisen fysiikan vastavirtauserokaavio on luokka diskretisointimenetelmiä hyperbolisen tyyppisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ( hyperbolisten yhtälöiden ) ratkaisemiseksi.

Esimerkiksi yksiulotteisella aaltoyhtälöllä on muoto

$\qquad {\frac {\partial u}{\partial t))+a{\frac {\partial u}{\partial x))=0$

Se kuvaa aallon etenemistä suuntaan , jonka nopeus on . Tällainen yhtälö on myös matemaattinen malli yksiulotteiselle lineaariselle advektiolle . Kun otetaan huomioon tavallinen ruudukkopiste , yksiulotteisessa tapauksessa on vain kaksi mahdollista suuntaa, vasen ja oikea. Jos positiivinen, niin vasenta puolta kutsutaan ylävirran suunnaksi ja oikeaa puolta alavirran suunnaksi. (Jos negatiivinen, niin päinvastoin). Jos käytettäessä äärellisiä eroja tiladerivaattana se sisältää enemmän pisteitä ylävirran puolella, niin kaaviota kutsutaan ylävirran erotusskeemaksi [1] . $x$ $a$ $i$ $a$ $a$ $\partial u/\partial x$

Ensimmäinen tilaus

Yksinkertaisin esimerkki, ensimmäisen asteen esimerkki: [2]

\quad (1)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n)){\Delta t))+a{\frac {u_{i} ^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a>0

\quad (2)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n)){\Delta t))+a{\frac {u_{i+ 1 }^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a<0

Kompakti muoto

Määritteleminen

\qquad \qquad a^{+}={\teksti{max))(a,0)\,,\qquad a^{-}={\teksti{min))(a,0)

\qquad \qquad u_{x}^{-}={\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}\,,\ qquad u_{x}^{+}={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n)){\Delta x))

kaksi ehdollista yhtälöä (1) ja (2) voidaan kirjoittaa yhdeksi:

\quad (3)\qquad u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\Delta t\left[a^{+}u_{x}^{-}+ a^{-}u_{x}^{+}\right]

Tällainen yhtälö edustaa yleisellä tavalla järjestelmiä, joissa on eroja ylävirtaan. Järjestelmän stabiilisuus eroilla ylävirtaan määräytyy Courant-Friedrichs-Levy-kriteerin mukaan . [3]

Lähteet

↑ Fletcher K. Laskennalliset menetelmät virtausdynamiikassa . - Springer , 1992. - ISBN 9783540530589 . (Venäjän kieli)
↑ Patankar, SV Numerical Heat Transfer ja Fluid Flow (määrittelemätön) . — Taylor & Francis , 1980. — ISBN 978-0-89116-522-4 .
↑ Hirsch, C. Numeerinen sisäisten ja ulkoisten virtausten laskenta . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 978-0-471-92452-4 .