Abelin lause

Abelin lause on tulos tehosarjojen teoriasta , joka on nimetty norjalaisen matemaatikon Niels Abelin mukaan . Käänteisversio sille on Abel-Tauber-lause .

Lausunto

Olkoon potenssisarja monimutkaisilla kertoimilla ja lähentymissäteellä . ${\displaystyle \textstyle f(x)=\sum \limits _{n\geqslant 0}a_{n}x^{n))$ $R$

Jos sarja on konvergentti, niin: ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n))$

\lim _{x\to R^{-}}f(x)=\sum _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n}

Todiste

Voidaan harkita muuttujien muutosta . Myös (tarvittavalla valinnalla ) voimme olettaa . Merkitään sarjan osasummat . Oletuksen mukaan ja on tarpeen todistaa, että . $u=x/R$ $R = 1$ $a_{0}$ $\textstyle \sum a_{n}=0$ $S_{n}$ $\textstyle \sum a_{n}$ $\lim _{n\to \infty }S_{n}=0$ $\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=0$

Harkitse . Sitten (olettaen ): $x\in[0,1]$ $S_{-1}=0$

\sum _{n=0}^{N}(S_{n}-S_{n-1})x^{n}=\sum _{n=0}^{N}S_{n} (x^{n}-x^{n+1})+S_{N}x^{N+1}.

Tästä se selviää . ${\displaystyle \textstyle f(x)=(1-x)\sum \limits _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n))$

Mielivaltaiselle on luonnollinen luku , joka on kaikille , joten: $\varepsilon > 0$ $N_{0}$ $|S_{n}|\leq \varepsilon$ ${\displaystyle n>N_{0))$

\vert f(x)\vert \leqslant (1-x)\left\vert \sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +(1-x)\ \varepsilon \sum _{n=N_{0}+1}^{\infty }x^{n}=(1-x)\left\vert \sum _{n=0} ^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +\varepsilon x^{N_{0}+1}.

Oikea puoli taipumus, kun se pyrkii 1, erityisesti se on pienempi, kun se menee 1. $\varepsilon$ $x$ $2\varepsilon$ $x$

Esimerkkejä

Esimerkit 1

Otetaan . Sarjan lähentymisen jälkeen meillä on: $\textstyle f(x)=\sum \limits _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\ln(1 +x)$ $\textstyle \sum \limits _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$

\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\ln 2=\sum _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{ n}}

Esimerkit 2

Otetaan . Sarjan lähentymisen jälkeen meillä on: $\textstyle g(x)=\sum \limits _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan (x)$ $\textstyle \sum \limits _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$

\lim _{x\to 1^{-}}g(x)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}=\sum _{n\geqslant 0}{\ frac {(-1)^{n}}{2n+1}}

Linkit

Abel summability (englanniksi) PlanetMath- verkkosivustolla . (yleisempi katsaus tämän tyyppisiin Abelin lauseisiin)
Weisstein, Eric W. Abel's Convergence Theorem (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .