Bolzano-Weierstrassin lause

Bolzano-Weierstrassin lause eli Bolzano-Weierstrassin rajapistelemma on analyysiehdotus , jonka yksi muotoilu sanoo: mistä tahansa rajoitetusta avaruuden pistejonosta voidaan erottaa suppeneva osasekvenssi. Bolzano-Weierstrassin lause, erityisesti jos kyseessä on numeerinen sekvenssi ( ), sisältyy jokaiseen analyysiin. Sitä käytetään monien analyysiehdotusten todistuksessa, esimerkiksi lauseessa jatkuvan funktion saavuttamisesta segmentillä sen parhaiden ylä- ja alarajojen mukaan . Lauseen nimet ovat tšekkiläinen matemaatikko Bolzano ja saksalainen matemaatikko Weierstrass $\mathbb {R} ^{n}$ $n = 1$ , joka itsenäisesti muotoili ja todisti sen.

Formulaatiot

Useita Bolzano-Weierstrassin lauseen muotoja tunnetaan.

Ensimmäinen sanamuoto

Ehdotetaan avaruuden $\mathbb {R} ^{n}$ pisteiden sarja :

x_1, x_2, \ldots

ja olkoon tämä sekvenssi rajoitettu , ts.

\| x_k \| \leqslant C, \; k = 1, 2, \ldots

missä on joku numero. $C > 0$

Sitten tästä sekvenssistä voimme valita osasarjan

x_{k_1}, x_{k_2}, \ldots

joka konvergoi johonkin avaruuden pisteeseen . $\mathbb {R} ^{n}$

Tämän muotoilun Bolzano-Weierstrassin lausetta kutsutaan joskus rajoitetun sekvenssin kompaktiuden periaatteeksi .

Ensimmäisen sanamuodon laajennettu versio

Usein Bolzano-Weierstrassin lausetta täydennetään seuraavalla lauseella.

Jos pistejono avaruudessa on rajoittamaton , niin siitä on mahdollista valita osajono, jolla on raja . $\mathbb {R} ^{n}$ $\infty$

Tässä tapauksessa tätä muotoilua voidaan jalostaa: mistä tahansa rajoittamattomasta numeerisesta sekvenssistä voidaan valita osasekvenssi, jolla on tietyn merkin ( tai ) ääretön raja. $n = 1$ $+\infty$ $-\infty$

Siten mikä tahansa numerosarja sisältää osajonon, jolla on raja laajennetussa reaalilukujoukossa . $\overline{\mathbb{R}}$

Toinen sanamuoto

Seuraava lause on Bolzano-Weierstrassin lauseen vaihtoehtoinen muotoilu.

Jokaisella rajatulla äärettömällä avaruuden osajoukolla on vähintään yksi rajapiste . $E$ $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$

Tarkemmin sanottuna tämä tarkoittaa, että on olemassa piste , jonka jokainen naapurusto sisältää äärettömän määrän joukon pisteitä . $x_0 \in \mathbb{R}^n$ $U_{\varepsilon}(x_0)$ $E$

Todistus Bolzano-Weierstrassin lauseen kahden formulaation vastaavuudesta

$\bigl ( 1 \nuoli oikealle 2 \ iso )$ Antaa olla rajattu ääretön osajoukko avaruuden . Ota sarja eri kohtia $E$ $\mathbb{R}^n$ $E$

x_1, x_2, \ldots

Koska tämä sekvenssi on rajoitettu Bolzano–Weierstrassin lauseen ensimmäisen muotoilun perusteella, siitä voidaan poimia alasekvenssi

x_{k_1}, x_{k_2}, \ldots

lähentymässä johonkin pisteeseen . Silloin mikä tahansa pisteen ympäristö sisältää äärettömän määrän joukon pisteitä . $x_0 \in \mathbb{R}^n$ $x_0$ $E$

\bigl ( 2 \Nuoli oikealle 1 \ bigr )

Päinvastoin, annetaan mielivaltainen rajattu pistejono avaruudessa :

\mathbb{R}^n

$x_1, x_2, \ldots$ Tämän sekvenssin arvojoukko on rajoitettu, mutta se voi olla joko ääretön tai äärellinen. Jos se on äärellinen, yksi arvoista toistetaan sarjassa äärettömän monta kertaa. Sitten nämä termit muodostavat stationaarisen osajonon (eli jonon, jonka kaikki alkiot ovat samoja, alkaen joistakin), joka suppenee pisteeseen . $E$ $E$ $a \ in E$ $a$

Jos joukko on ääretön, niin Bolzano-Weierstrassin lauseen toisen muotoilun mukaan missä tahansa ympäristössä on piste, jonka sekvenssissä on äärettömän monta eri jäsentä. $E$ $x_0 \in \mathbb{R}^n$

Valitaan piste peräkkäin samalla kun huomioidaan kasvavien lukujen ehto: $m = 1, 2, \l pistettä$ $x_{k_m} \in U_{1/m}(x_0)$

k_1 < k_2 < \ldots

Sitten osajono konvergoi pisteeseen .

x_{k_1}, x_{k_2}, \ldots

x_0

quod erat mielenosoitus

Todiste

Bolzano–Weierstrassin lause on johdettu reaalilukujoukon täydellisyysominaisuudesta . Todistuksen tunnetuin muunnelma käyttää täydellisyysominaisuutta sisäkkäisten segmenttien periaatteen muodossa .

Yksiulotteinen kotelo

Osoitetaan, että mistä tahansa rajoitetusta numeerisesta sekvenssistä on mahdollista valita konvergentti osajono. Seuraavaa todistusmenetelmää kutsutaan Bolzanon menetelmäksi tai puolittamismenetelmäksi .

Olkoon rajoitettu numeerinen sarja

x_{1},x_{2},x_{3},\ldots

Jakson rajallisuudesta seuraa, että kaikki sen jäsenet sijaitsevat tietyllä todellisen linjan segmentillä, jota merkitsemme . $[a_0, b_0]$

Jaa segmentti kahtia kahteen yhtä suureen osaan. Ainakin yksi tuloksena olevista segmenteistä sisältää äärettömän määrän sekvenssitermejä. Nimetään se . $[a_0, b_0]$ $[a_1, b_1]$

Seuraavassa vaiheessa toistetaan toimenpide segmentillä : jaamme sen kahteen yhtä suureen segmenttiin ja valitsemme niistä sen, joka sisältää äärettömän määrän sekvenssin jäseniä. Nimetään se . $[a_1, b_1]$ $[a_2, b_2]$

Jatkamalla prosessia, saamme sisäkkäisten segmenttien sarjan

[a_0, b_0] \supset [a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \ldots

jossa jokainen seuraava on puolet edellisestä ja sisältää äärettömän määrän sekvenssin jäseniä . $\{x_k\}$

Segmenttien pituudet ovat yleensä nolla:

|b_m - a_m| = \frac{|b_0 - a_0|}{2^m} \-0

Sisäkkäisten segmenttien Cauchy-Cantor-periaatteen ansiosta on yksi piste , joka kuuluu kaikkiin segmentteihin: $\xi$

a_m \leqslant \xi \leqslant b_m, \; m = 0, 1, \lds

Rakenteen mukaan jokainen segmentti sisältää äärettömän määrän sekvenssin termejä. Valitaan sarja $[a_m,b_m]$

x_{k_m} \in [a_m,b_m], \; m = 0, 1, 2, \lds

tarkkaillen lisääntyvien lukujen ehtoa:

k_0 < k_1 < \ldots

Sitten osajono konvergoi pisteeseen . Tämä johtuu siitä, että etäisyys kohteesta - ei ylitä ne sisältävän segmentin pituutta , mistä $\{ x_{k_m} \}$ $\xi$ $x_{k_m}$ $\xi$ $[a_m,b_m]$

|x_{k_m} - \xi | \leqslant |b_m - a_m| \-0

Laajennus mielivaltaisen äärellisen ulottuvuuden avaruuteen

Bolzano-Weierstrassin lause on helppo yleistää mielivaltaisen ulottuvuuden avaruuteen.

Olkoon avaruuden pisteiden sarja : $\mathbb{R}^n$

\begin{matriisi} x_1 = (x_1^{(1)}, x_1^{(2)}, \ldots, x_1^{(n)}) \\ x_2 = (x_2^{(1)}, x_2^ {(2)}, \ldots, x_2^{(n)}) \\ \ldots \\ \end{matrix}

(alempi indeksi on sekvenssin jäsenen numero, ylempi on koordinaattinumero). Jos avaruuden pisteiden sarja on rajoitettu, jokainen koordinaattien numeerinen sarja: $\mathbb{R}^n$

x_1^{(\nu)}, x_2^{(\nu)}, \ldots

on myös rajoitettu ( on koordinaattinumero). $\nu = 1, \lpisteet, n$

Bolzano–Weierstrassin lauseen yksiulotteisen muunnelman ansiosta on mahdollista erottaa sekvenssistä osajono pisteitä, joiden ensimmäiset koordinaatit muodostavat konvergentin sekvenssin. Tuloksena olevasta osajonosta valitsemme jälleen osajonon, joka suppenee toista koordinaattia pitkin. Tässä tapauksessa konvergenssi ensimmäisessä koordinaatissa säilyy johtuen siitä, että mikä tahansa suppenevan sekvenssin osasekvenssi myös konvergoi. Ja niin edelleen. $\{ x_k\}$ $\{ x_{k_m} \}$ $\{ x_{k_m}^{(1)} \}$

Vaiheiden jälkeen saamme jonkinlaisen sekvenssin $n$

x_{r_1}, x_{r_2}, \ldots

joka on osajono ja suppenee jokaisessa koordinaatissa. Tästä seuraa, että tämä osasarja konvergoi. $x_1, x_2, \ldots$

Historia

Tšekkiläinen matemaatikko Bolzano osoitti ensimmäisen kerran Bolzano-Weierstrassin lauseen (tapausta varten ) vuonna 1817. Bolzanon työssä se esiintyi lemmana jatkuvan funktion väliarvoja koskevan lauseen todistuksessa , joka tunnetaan nykyään Bolzano-Cauchyn lauseena. Nämä ja muut tulokset, jotka Bolzano todisti kauan ennen Cauchya ja Weierstrassia , jäivät kuitenkin huomaamatta. $n = 1$

Vain puoli vuosisataa myöhemmin Weierstrass Bolzanosta riippumatta löysi uudelleen ja todisti tämän lauseen. Sitä kutsuttiin alun perin Weierstrassin lauseeksi, ennen kuin Bolzanon teos tuli tunnetuksi ja sai tunnustusta.

Nykyään tämä lause kantaa Bolzanon ja Weierstrassin nimiä. Usein tätä lausetta kutsutaan Bolzano-Weierstrassin lemmaks ja joskus rajapistelemmiksi .

Bolzano-Weierstrassin lause ja kompaktiuden käsite

Bolzano-Weierstrassin lause vahvistaa seuraavan mielenkiintoisen rajatun joukon ominaisuuden : jokainen pistejono sisältää konvergentin osajonon. $M \osajoukko \mathbb{R}^n$ $M$

Erilaisia väitteitä analyysissä todistettaessa turvaudutaan usein seuraavaan temppuun: määritetään pistejono, jolla on jokin haluttu ominaisuus, ja sitten valitaan siitä osajono, joka myös omistaa sen, mutta jo lähentyy. Esimerkiksi näin on todistettu Weierstrassin lause , että välissä jatkuva funktio on rajoitettu ja saa suurimman ja pienimmän arvonsa.

Tällaisen tekniikan tehokkuus yleisesti, samoin kuin halu laajentaa Weierstrassin lausetta mielivaltaisiin metrisiin avaruuteen , sai ranskalaisen matemaatikon Maurice Fréchet'n ottamaan käyttöön kompaktiuden käsitteen vuonna 1906 . Rajoitettujen joukkojen ominaisuus , joka vahvistetaan Bolzano–Weierstrass-lauseella, on kuvaannollisesti se, että joukon pisteet sijaitsevat melko "tiiviisti" tai "kompaktisti": sen jälkeen, kun on otettu äärettömän monta askelta tätä joukkoa pitkin. , lähestymme varmasti niin lähelle kuin haluamme, jota - pistettä avaruudessa. $\mathbb{R}^n$

Fréchet esittelee seuraavan määritelmän: joukkoa kutsutaan kompaktiksi tai kompaktiksi , jos mikä tahansa sen pisteiden sarja sisältää osajonon, joka suppenee johonkin tämän joukon pisteeseen. Oletetaan, että joukossa on määritetty metriikka , eli se on metriavaruus tai metriavaruuden osajoukko. $M$ $M$

Tämän määritelmän perusteella jokainen rajattu joukko ei ole kompakti: pisteiden osajono voi konvergoida pisteeseen, joka ei enää kuulu tähän joukkoon. Rajatun joukon sulkeminen on kuitenkin jo kompakti. Siten Bolzano-Weierstrassin lause asettaa riittävän ehdon tiiviydelle avaruudessa : jotta joukko olisi kompakti , riittää , että se on suljettu ja rajoitettu. Näiden ehtojen tarpeellisuutta ei ole vaikea varmistaa (tämä on paljon helpompaa kuin riittävyyden todistaminen). $M \osajoukko \mathbb{R}^n$ $M$ $\mathbb{R}^n$ $M \osajoukko \mathbb{R}^n$

Siten kompaktisuuden yleisen määritelmän kannalta Bolzano-Weierstrassin lauseen rooli on, että se asettaa kriteerin tiiviydelle avaruudessa : kompaktit joukot ovat täsmälleen suljettuja rajoitettuja joukkoja. $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$

Katso myös

Muistiinpanot

Kirjallisuus

Kudrjavtsev L. D. Matemaattisen analyysin kurssi. - 5. painos - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Rybnikov K. A. Matematiikan historia. - M . : Moskovan yliopiston kustantamo, 1963. - T. 2.
Rudin U. Matemaattisen analyysin perusteet = Matemaattisen analyysin periaatteet / per. englannista. Havin. Toinen on stereotyyppinen. - M . : "Mir", 1976.