Heine-Borel Lemma

Heine-Borel- lemma [1] (ja myös Borel-Lebesguen lemma [2] tai äärellinen kansilemma ) on seuraava tosiasia, jolla on perustavanlaatuinen rooli analyysissä :

Mistä tahansa todellisen suoran segmentin kattavasta äärettömästä intervallijärjestelmästä voidaan valita äärellinen alijärjestelmä, joka kattaa myös tämän segmentin.

Tämän väitteen yleistämistä moniulotteiseen tapaukseen kutsutaan myös Heine-Borel-lemmiksi (tai Borel-Lebesguen lemmaksi) [3] .

Sanamuoto

Heine-Borel-lemman yleisessä tapauksessa muotoilemiseksi otamme käyttöön kannen käsitteen [3] . Aseta järjestelmä

{\mathfrak {S}}=\lhakasulke S_{{\alpha }}\rhakasulke

jossa indeksi kulkee jonkin joukon läpi, kutsutaan joukon kansiksi if $\alpha$ ${\mathfrak {A}}$ $X$

X\subset \bigcup _{{\alpha \in {\mathfrak {A}}}}S_{{\alpha }}

Jos jokin kannen osa , esimerkiksi jossa on osajoukko , muodostaa itse joukon kannen , niin sitä kutsutaan joukon kannen alikanneksi . ${\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak {S}}'=\lhakasulke S_{{\alpha }}\mid \alpha \in {\mathfrak {A'}}\rhakasulke$ ${\mathfrak {A'))$ ${\mathfrak {A}}$ $X$ ${\mathfrak {S))'$ ${\mathfrak {S}}$ $X$

Muotoilkaamme nyt Heine-Borel-lemma yleisessä muodossa.

Antaa olla suljettu rajoitettu joukko avaruudessa . Sitten mistä tahansa joukon kattavasta avoimien joukkojen järjestelmästä voidaan erottaa äärellinen alijärjestelmä, joka kattaa myös joukon . $X$ $\mathbb{R}^n$ $X$ $X$

Lyhyesti sanottuna he sanovat näin: jokainen avaruudessa olevan suljetun rajallisen joukon avoin kansi sisältää äärellisen alikannen. $\mathbb{R}^n$ Kanta kutsutaan avoimeksi , jos se koostuu avoimista joukoista.

On myös käänteinen väite: jotta mikä tahansa joukon avoin kansi sisältää äärellisen alikannen, on välttämätöntä, että joukko on suljettu ja rajoitettu. $X\alajoukko {\mathbb {R}}^{n}$ $X$ Heine-Borel-lemma on kuitenkin vain suora lausunto, eli riittävät ehdot äärellisen alikannen olemassaololle.

Todiste

Heine-Borel-lemman todistus voidaan suorittaa eri tavoin. Alla on kahden todistuksen pääpiirteet.

Ensimmäinen todiste

Tämä todistus suoritetaan Bolzanon menetelmällä (puolittaminen) ja se perustuu Cauchy-Cantorin sisäkkäisten segmenttien lemmaan . Se on monella tapaa samanlainen kuin Bolzano-Weierstrassin rajapistelemman todistus .

Olkoon janan peitetty äärettömällä intervallijärjestelmällä. Oletetaan, että mikään äärellinen määrä intervalleja ei kata tiettyä segmenttiä. Jaa segmentti kahtia kahteen yhtä suureen osaan: ja . Vähintään yhtä niistä ei voida kattaa rajallisella välien osajärjestelmällä . Merkitään se ja toistetaan menettely sen jakamiseksi puoliksi. $[a,b]$ $\Sigma$ $\Sigma$ $[a,b]$ $\left[a,{\frac {a+b}{2}}\right]$ $\left[{\frac {a+b}{2}},b\right]$ $\Sigma$ $[a_{1},b_{1}]$

Jatkamalla segmenttien jakamista puoliksi kussakin vaiheessa, saadaan sarja sisäkkäisiä segmenttejä, joiden pituus on yleensä nolla, niin että tämän sekvenssin jokaista segmenttiä ei voida kattaa äärellisellä määrällä aikaväliä alkaen . Mutta jos on piste, johon segmentit supistuvat, niin, koska se sijaitsee segmentillä , se on sisällytettävä johonkin järjestelmän väliin . Sitten kaikki sekvenssin segmentit , alkaen jostain numerosta, katetaan välillä , mikä on ristiriidassa näiden segmenttien valinnan kanssa. Tuloksena oleva ristiriita todistaa Heine-Borel-lemman pätevyyden. $\Sigma$ $\xi$ $\xi$ $[a,b]$ $\sigma$ $\Sigma$ $[a_{k},b_{k}]$ $\sigma$

Tämä todistus, ilmeisin muutoksin, suoritetaan myös mielivaltaisen ulottuvuuden avaruudelle. Tämä todiste löytyy kohdista [3] ja [2] (viimeisessä kirjassa välittömästi mielivaltaisen metrisen avaruuden tapauksessa ). $\mathbb{R}^n$

Toinen todiste

Toinen todiste Heine-Borel-lemasta on Lebesgue [2] . Se ei käytä sisäkkäisten segmenttien lemmaa , vaan luottaa reaalilukujoukon täydellisyyden ominaisuuteen pienimmän supremmin olemassaolon periaatteen muodossa .

Anna intervallijärjestelmän kattaa segmentin . Merkitään joukko kaikkia pisteitä , joiden segmentti voidaan kattaa äärellinen määrä väliä alkaen . On selvää, että jos mikä tahansa muodon segmentti (missä x - sup M) voidaan kattaa äärellisellä määrällä intervalleja alkaen , niin sama pätee segmenttiin : tätä varten otetaan pisteen peittävä intervalli ja lisätään se jonkin segmentin äärelliseen peittoon , jossa saamme janan äärellisen peiton . Lisäksi tuloksena oleva äärellinen välien alijärjestelmä kattaa paitsi segmentin , myös jonkin muodon segmentin , jossa . $\Sigma$ $[a,b]$ $M$ $x\in[a,b]$ $[kirves]$ $\Sigma$ $[a,x'],\;x'<x$ $\Sigma$ $[kirves]$ $\sigma \in \Sigma$ $x$ $[kirves']$ $x'<x,x'\in \sigma$ $[kirves]$ $[kirves]$ $[kirves'']$ $x''>x$

Ensimmäisestä seuraa, että joukon pienin yläraja kuuluu joukkoon . Toisesta, että sen pitäisi olla yhtä suuri kuin . Siten , Eli segmentti voidaan kattaa äärellisellä määrällä aikaväliä alkaen . $M$ $M$ $b$ $b\in M$ $[a,b]$ $\Sigma$

Sovellus analyysissä

Cauchy-Cantorin sisäkkäisen intervallilemman ja Bolzano-Weierstrassin rajapistelemman ohella Heine-Borelin äärellinen peitelemma on yksi analyysin peruslauseista. Sitä voidaan käyttää todistamaan useita tärkeitä tuloksia.

Heine-Borel-lemmaa voidaan soveltaa onnistuneesti tapauksissa, joissa on tarpeen laajentaa jotain paikallista omaisuutta koko sarjaan. Havainnollistetaan mitä on sanottu yhtenäisen jatkuvuuslauseen todistuksen esimerkissä .

Funktion jatkuvuus välissä tarkoittaa, että minkä tahansa välin ja mielivaltaisen pisteen kohdalla on sellainen pisteen lähialue , jossa mitkä tahansa kaksi funktion arvoa eroavat toisistaan enintään : $f$ ${\näyttötyyli (a,b)}$ $x$ ${\näyttötyyli (a,b)}$ $\varepsilon > 0$ $U_{{\delta }}(x)$ $x$ $\varepsilon$

x',x''\in U_{{\delta }}(x)\Rightarrow |f(x')-f(x'')|\leqslant \varepsilon

Korjaamme ja valitsemme segmentin kullekin pisteelle osoitetun naapuruston (jokaisella on oma ). Tuloksena oleva intervallijärjestelmä muodostaa segmentille avoimen kannen, josta valitaan Heine-Borel-lemman mukaan äärellinen alikansi . On helppo nähdä, että on mahdollista valita niin, että jokainen pituussegmentti sisältyy kokonaan johonkin peittoväliin . Tästä seuraa, että jos ne eroavat enintään , niin ne sisältyvät samaan peittoväliin, mikä tarkoittaa, että funktion arvot eroavat näissä kohdissa enintään . $\varepsilon > 0$ $x$ $[a,b]$ $U_{{\delta }}(x)$ $x$ $\delta=\delta(x)$ $\Sigma$ $\delta>0$ $\delta$ $\Sigma$ $x',x'$ $\delta$ $\varepsilon$

Näin ollen mielivaltaisesti otetulle löytyy sellainen, että $\varepsilon > 0$ $\delta>0$

x',x''\in [a,b]\quad |x'-x''|\leqslant \delta \Rightarrow |f(x')-f(x'')|\leqslant \varepsilon

Tämä tarkoittaa, että funktio on tasaisesti jatkuva segmentillä . $f$ $[a,b]$

Yleistykset

Heine-Borel-lemma yleistetään mielivaltaiseen metriseen avaruuteen seuraavasti:

Jotta mikä tahansa metrisen avaruuden avoin kansi sisältää rajallisen alikannen, on välttämätöntä ja riittävää, että tila on täydellinen ja täysin rajattu . ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$

Kuten avaruuden tapauksessa , vain tämän lauseen toista osaa, joka koskee ehtojen riittävyyttä äärellisen alikannen olemassaololle, kutsutaan Heine-Borel-lemmaksi. $\mathbb{R}^n$

Osoittautuu, että metrisellä avaruudella on Heine-Borel-ominaisuus, jos ja vain jos se on kompakti avaruus , eli jokaisella sen äärettömällä osajoukolla on rajapiste, joka kuuluu . Siten kompakti metriavaruus voitaisiin määritellä avaruuteen, jonka jokainen avoin kansi sisältää äärellisen alikannen. ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$

Kun siirrytään metriavaruudesta yleisempään topologisten avaruuksien käsitteeseen , kävi ilmi, että nämä kaksi ehtoa eivät ole ekvivalentteja: jos topologisella avaruudella on Heine–Borel-ominaisuus, niin sen jokaisella äärettömällä osajoukolla on rajapiste, mutta päinvastoin. ei ole aina totta. Vahvempi Heine-Borel-ominaisuus on otettu kompaktin topologisen avaruuden määritelmäksi . Lisäksi vanha tiiviysehto, nimittäin rajapisteen olemassaolo mille tahansa äärettömälle osajoukolle, osoittautui vastaavaksi seuraavaa ehtoa: jokainen laskettava avoin kansi sisältää äärellisen alikannen. Tällaisia tiloja alettiin kutsua tiiviiksi .

Historiallinen tausta

Nykyään Heine-Borel-lemmana tunnetun matemaattisen lauseen historia alkoi 1800-luvun jälkipuoliskolla, jolloin matemaatikot etsivät kiireisiä luotettavia perustaa laskennan tiukkaa rakentamista varten . Muun muassa yksi tarkkoja todisteita vaativista analyysin perustuloksista oli lause , jonka mukaan mikä tahansa segmentillä jatkuva funktio on siinä tasaisesti jatkuva. Dirichlet todisti tämän lauseen ensimmäisenä luennoissaan 1862, jotka julkaistiin vasta vuonna 1904. Samalla hän käytti implisiittisesti sitä tosiasiaa, että jos janan kattaa ääretön määrä intervalleja, niin niiden joukosta voidaan valita äärellinen luku, joka kattaa myös annetun janan. Myöhemmin samanlaista päättelyä käyttivät E. Heine , K. Weierstrass , S. Pinkerle . Ensimmäinen, joka muotoili ja todisti Heine-Borel-lemman nykyaikaista läheisessä muodossa, oli E. Borel vuonna 1895. Hänen muotoilunsa rajoittui kuitenkin peitteisiin, jotka koostuivat lukemattomasta määrästä aikavälejä. E. Borelin oppilas A. Lebesgue yleisti sen mielivaltaisiksi äärettömiksi peitoksiksi vuonna 1898.

Matemaattisessa kirjallisuudessa tämä väite löytyy useilla nimillä. Yleisin nimi on Heine-Borel lemma [1] [3] [4] , joka sijoitettiin tämän artikkelin otsikkoon. Usein käytetään kuitenkin seuraavia: Borel-Lebesgue lemma [5] , Borel lemma [6] . Joissakin kirjoissa tätä väitettä ei kutsuta lemmiksi, vaan lauseeksi: Heine-Borel-lause [7] , Borel-Lebesguen lause [2] . Myös äärellisen kansilemman [5] nimi esiintyy .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Funktioteorian ja funktionaalisen analyysin elementit. - S. 107.
↑ 1 2 3 4 Aleksandrov PS Johdatus joukkoteoriaan ja yleiseen topologiaan. - S. 183-184, 193-195.
↑ 1 2 3 4 Kudryavtsev L. D. Matemaattisen analyysin kurssi. - T. 2. - S. 195-196.
↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Matemaattisen analyysin perusteet: 2 tunnissa, osa I.
↑ 1 2 Zorich V. A. Matemaattinen analyysi. Osa I
↑ Fikhtengolts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi 3 osassa. - T. 1.
↑ Rudin U. Matemaattisen analyysin perusteet.

Kirjallisuus

Aleksandrov PS Johdatus joukkoteoriaan ja yleiseen topologiaan. - M . : "Nauka", 1977. - 368 s.

Zorich V. A. Matemaattinen analyysi. Osa I. - 4. painos, Rev. - M. : MTSNMO, 2002. - XVI + 664 s. — ISBN 5-94057-056-9 .

Ilyin V. A., Poznak E. G. Matemaattisen analyysin perusteet: 2 tunnissa Osa I. - 7. painos - M. : FIZMATLIT, 2005. - 648 s. - ISBN 5-9221-0536-1 .

Kolmogorov AN, Fomin SV Funktioteorian ja funktionaalisen analyysin elementit. - 7. painos - M . : "Fizmatlit", 2004. - 572 s. — ISBN 5-9221-0266-4 .

Kudrjavtsev L. D. Matemaattisen analyysin kurssi. - 5. painos - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .

Rudin U. Matemaattisen analyysin perusteet = Matemaattisen analyysin periaatteet / per. englannista. Havin. — 2. painos, stereotyyppinen. - M . : "Mir", 1976.

Fikhtengol'ts G.M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi 3 osassa. - T. 1.