Hyvin rajallinen setti

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 20. joulukuuta 2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Joukon sanotaan olevan täysin rajoitettu , jos mille tahansa positiiviselle ε:lle on olemassa äärellinen ε-verkko tälle joukolle.

Muistiinpanot

Täysin rajoittuvuuden ja rajallisuuden käsitteet osuvat yhteen äärellisulotteisten euklidisten avaruuksien tapauksessa . Todellakin, riittää ottaa minimaalinen kuutio, joka sisältää tietyn rajatun joukon, jonka sivu on . Sitten - murtaa se kuutioiksi, joissa on sivut . Kuutioiden kärjet antavat äärellisen ε-verkon, haluttu ε saavutetaan lisäämällä . $\mathbb {R^{n}}$ $a$ $k^{n}$ $a/k$ $k$
Jos äärellisulotteiseen avaruuteen otetaan käyttöön uusia mittareita, niin rajatut joukot voivat lakata olemasta täysin rajattuja. Tällainen tulos saadaan esimerkiksi metriikalla tai diskreetillä mittarilla . $\mathbb {R^{n}}$ $d(x,y)=\min(1,\mid xy\mid )$
Äärettömässä ulottuvuudessa rajoitus ei myöskään ole täysin identtinen rajallisuuden kanssa. Yksikköpallossa tarvitaan ääretön määrä palloja, joiden säde on ε<1 kattamaan muodon , pisteet . $l^2$ $e_{i}=(0\pisteet 0,1,0\pisteet 0)$ $i\in \mathbb {N}$
Täydellisessä metriavaruudessa täydellinen rajoittuneisuus edellyttää esitiiviyttä . Tämä ominaisuus vaaditaan Arzela-Ascoli -lauseen todistuksessa .
Joskus termi "täysin rajoitettu" ( eng. totally bounded ) sekoitetaan termiin "täysin rajoitettu" ( eng. täysin rajoittunut ). Jälkimmäinen liittyy kvanttifunktionaalisen analyysin lineaarisiin operaattoreihin.

Kirjallisuus

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Funktioteorian elementit ja funktionaalinen analyysi. - toim. neljäs, tarkistettu. - M .: Nauka , 1976 . — 106 s.