Hyvin rajallinen setti
Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 20. joulukuuta 2020 tarkistetusta
versiosta . vahvistus vaatii
1 muokkauksen .
Joukon sanotaan olevan täysin rajoitettu , jos mille tahansa positiiviselle ε:lle on olemassa äärellinen ε-verkko tälle joukolle.
Muistiinpanot
- Täysin rajoittuvuuden ja rajallisuuden käsitteet osuvat yhteen äärellisulotteisten euklidisten avaruuksien tapauksessa . Todellakin, riittää ottaa minimaalinen kuutio, joka sisältää tietyn rajatun joukon, jonka sivu on . Sitten - murtaa se kuutioiksi, joissa on sivut . Kuutioiden kärjet antavat äärellisen ε-verkon, haluttu ε saavutetaan lisäämällä .
![{\displaystyle \mathbb {R^{n}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b948aa3951c2c031a295b8ca8b62eaa4cbb51c0d)
![a](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
![k^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d0ca5fd176db2867ec07a961a31f17bc6fb07e)
![{\displaystyle a/k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/575c184ddd0786ae934010ebaaa236563b2fe24f)
![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
- Jos äärellisulotteiseen avaruuteen otetaan käyttöön uusia mittareita, niin rajatut joukot voivat lakata olemasta täysin rajattuja. Tällainen tulos saadaan esimerkiksi metriikalla tai diskreetillä mittarilla .
![{\displaystyle \mathbb {R^{n}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b948aa3951c2c031a295b8ca8b62eaa4cbb51c0d)
![{\displaystyle d(x,y)=\min(1,\mid xy\mid )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b1be7de1439cc9801b447bf53f9321bc364ce1)
- Äärettömässä ulottuvuudessa rajoitus ei myöskään ole täysin identtinen rajallisuuden kanssa. Yksikköpallossa tarvitaan ääretön määrä palloja, joiden säde on ε<1 kattamaan muodon , pisteet .
![l^2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d87c123d31160a9e22122d5cfbe786a5c96372de)
![{\displaystyle e_{i}=(0\pisteet 0,1,0\pisteet 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc27cc2ebf0d9ac02c2f094f8772f3dea03702e)
![{\displaystyle i\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64c8c5906eb3eb9d7a8b1ed1e31de4e5fc6c632)
- Täydellisessä metriavaruudessa täydellinen rajoittuneisuus edellyttää esitiiviyttä . Tämä ominaisuus vaaditaan Arzela-Ascoli -lauseen todistuksessa .
- Joskus termi "täysin rajoitettu" ( eng. totally bounded ) sekoitetaan termiin "täysin rajoitettu" ( eng. täysin rajoittunut ). Jälkimmäinen liittyy kvanttifunktionaalisen analyysin lineaarisiin operaattoreihin.
Kirjallisuus
- Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Funktioteorian elementit ja funktionaalinen analyysi. - toim. neljäs, tarkistettu. - M .: Nauka , 1976 . — 106 s.