Bochner-Khinchin lause

Bochner-Khinchin -lause - todennäköisyysteoriassa: lause välttämättömistä ja riittävistä ehdoista, jotta funktio olisi luonteenomainen ; satunnaisprosessien teoriassa: lause stationääristen prosessien korrelaatiofunktion ominaisuuksista.

Todennäköisyysteoria

Sanamuoto

Antaa olla jatkuva funktio ja . Jotta funktio olisi karakteristinen, on välttämätöntä ja riittävää, että se on ei-negatiivinen määrätty funktio, eli jokaiselle kokonaisluvulle , millä tahansa reaaliluvulla ja mille tahansa kompleksiluvulle epäyhtälö [1] on tosi . $\varphi (u)$ $u\in R^{n}$ $\varphi (0)=1$ $\varphi (u)$ $m>0$ ${\displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{m))$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{m))$ $\sum _{i,j=1}^{m}\varphi (u_{i}-u_{j})z_{i}{\bar {z_{j))}\geqslant 0$

Tässä tarkoitetaan luvun kompleksista konjugaattia . ${\displaystyle {\bar {z_{j))))$ ${\displaystyle z_{j))$

Satunnaisprosessien teoria

Sanamuoto

Antaa olla laajalti stationäärinen prosessi korrelaatiofunktiolla [2] . ${\displaystyle \left\{\xi (t),t\in T\right\))$ $B(t)$

Jos on diskreettiaikainen skalaariprosessi , niin: ${\displaystyle \left\{\xi (t),t\in T\right\))$

$B(t)={\begin{cases}\int _{-\pi }^{\pi }e^{i\lambda t}dF(\lambda ),&{\mbox{jos kyseessä monimutkainen prosessi ))\\\int _{0}^{\pi }\left[\cos(\lambda t)dC(\lambda )+\sin(\lambda t)dQ(\lambda )\right], &{\ mbox{jos kyseessä on kelvollinen prosessi}}\end{cases}}$

missä on ei-negatiivinen ei-pienevä funktio , joka on määritetty yksiselitteisesti, jos vaadimme sitä ja olla jatkuva oikealla, on rajallisen vaihtelun todellinen parillinen ei-pienevä funktio, on rajallisen vaihtelun todellinen pariton funktio. $F(\lambda )$ $B(t)$ $F(-\pi )=0$ $F(\lambda )$ $C(\lambda )$ $Q(\lambda )$

Jos on vektoriprosessi, jolla on diskreetti aika , niin for on esitetty kuten skalaariprosessi, jolla on diskreetti aika, missä on matriisi, jonka inkrementit ovat hermiittisiä ja ei-negatiivisesti määriteltyjä, on todellinen symmetrinen matriisi, jonka inkrementit ovat ei-negatiivisesti määriteltyjä, on todellinen vinosymmetrinen matriisi. Matriisin määrittää yksilöllisesti , jos sitä vaadimme (nollamatriisi) ja se on oikea-jatkuva (elementtikohtaisen konvergenssin merkityksessä). ${\displaystyle \left\{\xi (t),t\in T\right\))$ $B(t)$ $F(\lambda )$ ${\displaystyle F(\lambda _{1})-F(\lambda _{2}),\lambda _{1}\geqslant \lambda _{2))$ $C(\lambda )$ ${\displaystyle C(\lambda _{1})-C(\lambda _{2}),\lambda _{1}\geqslant \lambda _{2))$ $Q(\lambda )$ $F(\lambda )$ $B(t)$ $F(-\pi )=0$ $F(\lambda )$

Jos on jatkuvaaikainen skalaariprosessi , niin: ${\displaystyle \left\{\xi (t),t\in T\right\))$

$B(t)={\begin{cases}\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\lambda t}dF(\lambda ),&{\mbox{jos kyseessä monimutkainen prosessi ))\\\int _{0}^{\infty }\left[\cos(\lambda t)dC(\lambda )+\sin(\lambda t)dQ(\lambda )\right], &{\ mbox{jos kyseessä on kelvollinen prosessi}}\end{cases}}$

jossa funktiot määritellään samalla tavalla kuin diskreettiaikaisessa skalaariprosessissa, paitsi ehto . $F(\lambda ),C(\lambda ),Q(\lambda )$ $F(-\infty )=0$

Jos on vektoriprosessi, jolla on jatkuva aika , niin sillä on esitykset kuten jatkuvan ajan skalaariprosessissa, jossa matriisit määritellään samalla tavalla kuin diskreettiajan vektoriprosessissa, paitsi ehto (nollamatriisi). ${\displaystyle \left\{\xi (t),t\in T\right\))$ $B(t)$ $F(\lambda ),C(\lambda ),Q(\lambda )$ $F(-\infty )=0$

Katso myös

Satunnaismuuttujan ominaisfunktio

Muistiinpanot

↑ Korolyuk V.S. , Portenko N.I., Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Todennäköisyysteorian ja matemaattisten tilastojen käsikirja. - M., Nauka, 1985. - s. 65
↑ Korolyuk V.S. , Portenko N.I., Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Todennäköisyysteorian ja matemaattisten tilastojen käsikirja. - M., Nauka, 1985. - s. 245-246