Weierstrassin rajoitetun kasvavan sekvenssin lause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 16.11.2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Weierstrassin lause ylhäältä rajatusta kasvavasta sekvenssistä (tai alhaalta rajatusta laskevasta sekvenssistä) sanoo, että jokaisella monotonisesti kasvavalla (tai monotonisesti laskevalla) ylhäältä rajatulla sekvenssillä on raja, ja tämä raja on yhtä suuri kuin sen suurin ylempi (tai alempi) sidottu. Huolimatta todisteen läpinäkyvyydestä ja ilmeisyydestä, tämä lause osoittautuu erittäin käteväksi löytää monien sekvenssien rajat tai ainakin todistaa niiden olemassaolo.

Sanamuoto

---

Todiste

Antaa olla rajoitettu kasvava sekvenssi. Silloin joukko on rajoitettu, joten sillä on supremumilause . Merkitään se . Sitten . Todellakin, koska on Supremum asetettu , Sitten tahansa on olemassa numero sellainen, että . Sitten kaikille, mitä meillä on: . Sitten klo . Siksi ,. Lause on todistettu. [yksi] ${x_n}$ $\{x_n\}_{n\in\N}$ $S$ $\lim_{n \to \infty} x_n = S$ $S$ $\{x_n\}_{n\in\N}$ $\varepsilon > 0$ $N$ $S-\varepsilon <x_N\leqslant S$ $n>N$ $S-\varepsilon <x_{N}\leqslant x_{n}\leqslant S<S+\varepsilon$ $\vasen | {x_n-S} \oikea |<\varepsilon$ $n>N$ $\lim_{n \to \infty} x_n = S$

Muistiinpanot

↑ Zorich, s. 101-102

Kirjallisuus

Zorich V. A. Matemaattinen analyysi. Osa I. M.: Nauka, 1981. 544 s.