Goodsteinin lause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 11. marraskuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 9 muokkausta .

Goodsteinin lause on matemaattisen logiikan lause luonnollisista luvuista , jonka on todistanut Reuben Goodstein [1] . Väittää, että kaikki Goodstein-sekvenssit päättyvät nollaan. Kuten L. Kirby ja Jeff Paris [2] [3] osoittavat , Goodsteinin lause ei ole todistettavissa Peanon aksiomatiikassa ( ) (mutta voidaan todistaa esimerkiksi toisen asteen aritmetiikassa ). $PA$

Goodsteinin sekvenssi

Tarkastellaan positiivisten kokonaislukujen esittämistä potenssitermien summana, joilla on sama kanta.

Esimerkiksi kirjoitetaan numero 581 käyttämällä kantaa 2:

581=512+64+4+1=2^{9}+2^{6}+2^{2}+2^{0}.

Jaetaan eksponentit samalla periaatteella:

581=2^{2^{3}+1}+2^{2^{2}+2}+2^{2}+1=2^{2^{2+1}+1} +2^{2^{2}+2}+2^{2}+1.

Samanlainen laajennus voidaan saada mille tahansa numerolle.

Käytämme rekursiivisesti seuraavaa toimintoa tuloksena olevaan lausekkeeseen:

lisäämällä "kantaa" yhdellä ja vähentämällä 1 itse numerosta.

Näin ollen, kun ensimmäinen operaatio on tehty (muuta 2 arvoon 3 ja vähennä yksi numerosta), lauseke saadaan

3^{3^{3+1}+1}+3^{3^{3}+3}+3^{3}.

Toisen jälkeen (muuta 3 arvoon 4 ja vähennä yksi numerosta):

4^{4^{4+1}+1}+4^{4^{4}+4}+3\kertaa 4^{3}+3\kertaa 4^{2}+3\kertaa 4+3.

Kolmannen jälkeen (muuta 4 arvoon 5 ja vähennä yksi numerosta):

5^{5^{5+1}+1}+5^{5^{5}+5}+3\kertaa 5^{3}+3\kertaa 5^{2}+3\kertaa 5+2.

Goodsteinin lause sanoo, että lopputulos on aina 0.

Vahvempi väite on myös totta: Jos 1:n sijaan lisätään mielivaltainen luku kantaan ja vähennetään itse luvusta, saadaan aina 0, vaikka eksponentit eivät alun perin hajottaisi kantaa 2:een.

Viimeinen kanta alkuperäisen luvun diskreettifunktiona kasvaa hyvin nopeasti ja saavuttaa jo arvon . Sillä , se on aina Woodall-luku [4] . $n = 4$ $3\times 2^{27}\times 2^{3\times 2^{27}}-1=3\times 2^{402653211}-1$ $n>3$

Esimerkki

Harkitse esimerkkiä Goodsteinin sekvenssistä numeroille 1, 2 ja 3.

Määrä	Pohja	Äänite	Merkitys
yksi	2	yksi	yksi
	3	yksitoista	0
2	2	2 1	2
	3	3 1-1 _	2
	neljä	2-1	yksi
	5	1-1	0
3	2	2 1 + 1	3
	3	(3 1 + 1) − 1 = 3 1	3
	neljä	4 1 − 1 = 1 + 1 + 1	3
	5	(1 + 1 + 1) − 1 = 1 + 1	2
	6	(1 + 1) − 1 = 1	yksi
	7	1-1 = 0	0

Muistiinpanot

↑ Goodstein, R. (1944), Rajoitettu järjestyslause , Journal of Symbolic Logic, osa 9: 33–41 , < https://www.jstor.org/pss/2268019 >
↑ Kirby, L. & Paris, J. (1982), Accessible Independence results for Peano aritmetic , Bulletin London Mathematical Society , osa 14: 285–293 , < http://reference.kfupm.edu.sa/content/a/ c/accessible_independence_results_for_pean_59864.pdf > Arkistoitu 25. elokuuta 2011 Wayback Machinessa
↑ Roger Penrose. Iso pieni ja ihmisen mieli. Liite 1.
↑ Tarkastellaan luvun esitystapaa muodossa , missä on kantamme. Kun jäljelle jää vain kerroin at , joka on yhtä suuri kuin yksi, merkitsemme tämän arvoa . Sen jälkeen, kun luku muuttuu luvuksi On helppo osoittaa, että jatkokehityksen aikana jokainen kertoimen lasku 1:llä kaksinkertaistaa k. Perusarvon viimeinen arvo on . $\sum a_{i}k^{\sum b_{ij}k^{\dots ))$ $k$ $k^{2}$ $k$ $k_{2}$ $k=k_{2}+1$ $k_{2}k+k_{2}.$ $k$ $k_{2}\cdot 2^{k_{2}}-1$