Carathéodory-Fejer -lause

Carathéodory -Fejer- lause :

Päästää

{\displaystyle P(z)=~c_{0}+~c_{1}z+\ldots +c_{n-1}z^{n-1))

polynomi ,. _ On vain yksi rationaalinen funktio $P\not \equiv 0$

R(z)=R(z,~c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})

ystävällinen

$R(z)=\lambda {{\bar {\alpha }}_{n-1}+{\bar {\alpha }}_{n-2}z+\ldots +{\bar {\alpha }}_{0}z^{n-1} \over \alpha _{0}+\alpha _{1}z+\ldots +\alpha _{n-1}z^{n-1}},\ \lambda >0,$

säännöllinen ja ottaa sen laajennuksessa Maclaurin-sarjassa ensimmäiset kertoimet vastaavasti . Tämä toiminto ja vain se toteuttaa pienimmän arvon $\left|z\right|\leqslant 1$ $n$ ${\displaystyle c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1))$

M_{f}=\sup _{\left|z\right|<1}\left|f(z)\right|

kaikkien funktioiden luokassa säännöllinen muodon ympyrässä $\left|z\right|<1$ $f(z)$

f(z)=P(z)+~a_{n}z^{n}+\ldots ,

ja määritetty pienin arvo on

\lambda =\lambda (c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})

Luku on yhtä suuri kuin th asteen yhtälön suurin positiivinen juuri $\lambda (c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})$ $2n$

{\begin{vmatrix}-\lambda &0&\lpisteet &0&c_{0}&c_{1}&\lpisteet &c_{n-1}\\0&-\lambda &\lpisteet &0&0&c_{0}&\lpisteet &c_{ n-2}\\\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet \\0&0&\lpisteet &-\lambda &0&0&\lpisteet &c_{0}\\{\bar {c_{0}}}&0&\lpisteet &0&-\lambda &0&\lpisteet &0\\{\bar {c_{1}}}&{\bar {c_{0}}}&\lpisteet &0&0&-\lambda &\ lpisteet &0\\\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet \\{\bar {c}}_{n-1}&{\bar {c}} _{n-2}&\lpisteet &{\bar {c}}_{0}&0&0&\lpisteet &-\lambda \end{vmatrix}}

Jos ovat reaalilukuja , niin ne ovat suurimmat asteen yhtälön juurien absoluuttisista arvoista ${\displaystyle c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1))$ $\lambda (c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})$ $n$

{\begin{vmatrix}-\lambda &0&\lpisteet &0&c_{0}\\0&-\lambda &\lpisteet &c_{0}&c_{1}\\\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet & \lpisteet \\c_{0}&c_{1}&\lpisteet &c_{n-2}&c_{n-1}-\lambda \end{vmatrix}}=0

Kirjallisuus

Carathéodory C., Fejer L. Rend. Circolo matto. Palermo, - 1911, v. 32, s. 218-239.
Goluzin G. M. Geometrinen teoria kompleksisen muuttujan funktioista, 2. painos, - M. , 1966.