Kronecker-Cappellin lause

Kronecker-Capellin lause on lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuuden kriteeri:

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä on johdonmukainen silloin ja vain, jos sen päämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin sen laajennetun matriisin arvo.

Jotta lineaarinen järjestelmä olisi yhteensopiva , on välttämätöntä ja riittävää, että tämän järjestelmän laajennetun matriisin arvo on yhtä suuri kuin sen päämatriisin arvo . Todisti Leopold Kronecker, Alfredo Capelli .

Selitykset

Yhtälöjärjestelmä on ratkaistavissa silloin ja vain jos , missä matriisista saadaan lisätty matriisi osoittamalla sarake [1] . $Ax=B$ $\operaattorinnimi {rang} A=\operaattorin nimi {rang} (A|B)$ ${\näyttötyyli (A|B)}$ $A$ $B$

Todiste (järjestelmän yhteensopivuusehdot)

välttämättömyys

Anna järjestelmän olla johdonmukainen. Sitten on sellaisia lukuja , että . Siksi sarake on lineaarinen yhdistelmä matriisin sarakkeita . Siitä, että matriisin järjestys ei muutu, jos rivi (sarake) poistetaan sen rivien (sarakkeiden) järjestelmästä tai sille osoitetaan rivi (sarake), joka on muiden rivien (sarakkeiden) lineaarinen yhdistelmä, siitä seuraa että . $x_{1},\pisteet ,x_{n}\in {\mathbb R}$ $b=x_{1}a_{1}+\pisteet +x_{n}a_{n}$ $b$ $a_1,\pisteet,a_n$ $A$ $\operaattorinnimi {rang} A=\operaattorin nimi {rang} A|B$

Riittävyys

Anna . Otetaan jokin perusmolli matriisista . Siitä lähtien se on myös matriisin perusmolli . Tällöin matriisin viimeinen sarake on base minor -lauseen mukaan perussarakkeiden, eli matriisin sarakkeiden, lineaarinen yhdistelmä . Siksi järjestelmän vapaiden jäsenten sarake on lineaarinen yhdistelmä matriisin sarakkeista . $\operaattorinnimi {rang} A=\operaattorin nimi {rang} A|B=r$ $A$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {rang} A|B=r}$ $A|B$ $A|B$ $A$ $A$

Seuraukset

Järjestelmän päämuuttujien lukumäärä on yhtä suuri kuin järjestelmän arvo.
Johdonmukainen järjestelmä määritellään (sen ratkaisu on ainutlaatuinen), jos järjestelmän sijoitus on yhtä suuri kuin sen kaikkien muuttujien lukumäärä.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Lineaarialgebran tehtävät ja lauseet, 1996 , s. 65.

Kirjallisuus

V. A. Ilyin, G. D. Kim Lineaarinen algebra ja analyyttinen geometria, Moskova: TK Velbi, Prospekt Publishing House, 2007, 400 s.
Prasolov VV Lineaarialgebran tehtävät ja lauseet. - M .: Nauka, 1996. - 304 s. - ISBN 5-02-014727-3 .