Levitskyn lause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 9. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Levitskyn lause , joka on nimetty israelilaisen matemaatikon Yaakov Levitskyn mukaan, sanoo, että mikä tahansa yksipuolinen nollaideaali oikeanpuoleisessa Noetherin-renkaassa on välttämättä nilpotentti [1] [2] . Lause on yksi monista tuloksista, jotka todistavat Koethen arvelun todenperäisyydestä ja antavat lisäksi ratkaisun yhteen Koethen kysymyksistä, kuten Levitskyn artikkelissa [3] kuvataan . Tulos saatiin vuonna 1939, mutta se julkaistiin vasta vuonna 1950 [4] . Utumi antoi suhteellisen yksinkertaisen todisteen vuonna 1963 [5] .

Todiste

Alla on Utumin perustelu (kuten Lamin artikkelissa [6] hahmotellaan )

Lemma [7]

Oletetaan, että R täyttää nousevan ketjun lopetusehdon muodon annihilaattoreille , missä a kuuluu ryhmään R . Sitten

  1. Mikä tahansa yksipuolinen nollaideaali sisältyy alempaan nollaradikaaliin ;
  2. Mikä tahansa nollasta poikkeava oikea nilideaali sisältää nollasta poikkeavan nilpotentin oikean ihanteen.
  3. Mikä tahansa nollasta poikkeava vasen nilideaali sisältää nollasta poikkeavan nilpotentin vasemmistoideaalin.
Levitskyn lause [8]

Olkoon R oikea Noetherin-rengas. Silloin mikä tahansa yksipuolinen nilideaalinen R on nilpotentti. Tässä tapauksessa ylempi ja alempi nilradikaali ovat yhtä suuret ja lisäksi tämä ideaali on suurin nilpotentti ihanne nilpotenttien oikeistoideaalien ja nilpotentin vasemmiston ihanteiden joukossa.

Todistus : Yllä olevan lemman perusteella riittää osoittamaan, että alempi nollaradikaali R on nilpotentti. Koska R on oikea Noetherian rengas, on olemassa maksimaalinen nilpotentti ideaali N. N :n maksimaalisuus viittaa siihen, että osamäärärenkaalla R / N ei ole nollasta poikkeavia nilpotenttiideaaleja, joten R / N on puoliyksinkertaisen rengas . Tämän seurauksena N sisältää renkaan R alemman nollaradikaalin . Koska alempi nilradikaali sisältää kaikki nilpotentit ihanteet, se sisältää myös N , ja sitten N on yhtä suuri kuin alempi nilradikaali.

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ Herstein, 1968 , s. 37 Lause 1.4.5.
  2. ↑ Isaacs, 1993 , s. 210 Lause 14.38.
  3. ↑ Levitzki, 1945 .
  4. ↑ Levitzki, 1950 .
  5. ↑ Utumi, 1963 .
  6. ↑ Lam, 2001 , s. 164-165.
  7. ↑ Lam, 2001 , s. Lemma 10.29.
  8. ↑ Lam, 2001 , s. Lause 10.30.

Kirjallisuus