Liouvillen lause rajatuista kokonaisista analyyttisista funktioista

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 26.9.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Liouvillen lause rajatuista kokonaisista analyyttisista funktioista: jos koko monimutkaisten muuttujien funktio on rajoitettu, eli $f(z)$ $z=(z_{1},\pisteet ,z_{n})$

|f(z)|\leqslant M<\infty ,

eli vakio. $f(z)$

Yleistykset

If on kokonainen funktio , ja joillekin $f(z)$ ${\mathbb C}^{n}$ $r\in \mathbb {R}$

|f(z)|\leqslant C(1+|z|^{r}),

eli korkeintaan astemuuttujien polynomi .

f(z)

{\näyttötyyli (z_{1},\pisteet ,z_{n})}

r

Jos on todellinen harmoninen funktio koko lukuavaruudessa , $u(x)$ $\mathbb {R} ^{n}$

{\näyttötyyli u(x)<C(1+|x|^{r}),}

eli harmoninen polynomi muuttujissa.

u(x)

Historia

Tämän ehdotuksen, joka on yksi analyyttisten funktioiden teorian perustavanlaatuisista ehdotuksista, Cauchy julkaisi ilmeisesti ensimmäisen kerran vuonna 1844 tapausta varten . Liouville selitti sen luennoilla vuonna 1847 , mistä johtuu nimi. $n = 1$

Todiste (tapausta varten ) ${\mathbb C}^{1}$

Olkoon rajoittuva kompleksitasoon ts. $f(z)$

\exists M\,\forall z\,|f(z)|\leqslant M.

Käytämme Cauchyn integraalikaavaa derivaatalle : $f(z)$

f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C_{R}}{\frac {f(\xi )}{(\xi -z) ^{2}}}\,d\xi ,

jossa on ympyrä säde sisältää pisteen , tai . $C_{R}$ $R$ $z$ $|\xi -z|=R$

Meillä on

|f'(z)|\leqslant {\frac {1}{2\pi }}{\frac {M}{R^{2}}}2\pi R={\frac {M}{ R}}.

Siksi, koska Cauchyn integraalikaava pätee mille tahansa ääriviivalle, meillä on , ja siksi ja siksi on vakio. Lause on todistettu. $\lim _{R\to \infty }{\frac {M}{R}}=0$ $f'(z)=0$ $f(z)$