Luukkaan lause

Matematiikassa Lucasin lause on seuraava väite binomikertoimen jakamisesta alkuluvulla p : ${\tbinom {m}{n))$

{\binom {m}{n}}\equiv \prod _{{i=0}}^{{k-1}}({\binom {m_{i}}{n_{i}}}}{\ pmodp},

missä ja ovat lukujen m ja n esitykset p -aarilukujärjestelmässä . $m=(m_{{k-1}},\pisteet ,m_{0})_{p}$ $n=(n_{{k-1}},\pisteet ,n_{0})_{p}$

Erityisesti binomikerroin on tasaisesti jaollinen alkuluvulla p silloin ja vain, jos vähintään yksi luvun n p -numero ylittää luvun m vastaavan numeron . ${\tbinom {m}{n))$

Lauseen johti ensimmäisen kerran ranskalainen matemaatikko Edouard Lucas vuonna 1878.

Todiste

Tarkastellaan kerrointa for polynomissa rajallisen kentän yli . Toisaalta se on yksinkertaisesti yhtä suuri kuin . Toisaalta siitä lähtien $x^n$ $(x+1)^{m}$ $GF(p)$ ${\tbinom {m}{n))$

(x+1)^{m}=\prod _{{i=0}}^{{k-1}}(x+1)^{{m_{i}p^{i}}}\equiv \ prod _{{i=0}}^{{k-1}}(x^{{p^{i}}}+1)^{{m_{i}}}{\pmod {p}},

sitten, jotta saadaan kerroin at viimeisestä tulosta , on otettava kerroin at nollakertoimesta , kerroin at ensimmäisestä ja yleisessä tapauksessa -: nnesta kertoimesta, kerroin at . Yhtälöimällä kertoimet, saamme $x^n$ $x^{{n_{0}}}$ $x^{{n_{1}p}}$ $i$ $x^{{n_{i}p^{i}}}$

{\binom {m}{n}}\equiv \prod _{{i=0}}^{{k-1}}({\binom {m_{i}}{n_{i}}}}{\ pmod{p}}.

Kirjallisuus

E. Lucas. Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques (ranska) // American Journal of Mathematics : aikakauslehti. - 1878. - Voi. 1 , n o 2 . - s. 184-196 . - doi : 10.2307/2369308 . (osa 1);
E. Lucas. Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques (ranska) // American Journal of Mathematics : aikakauslehti. - 1878. - Voi. 1 , n o 3 . - s. 197-240 . - doi : 10.2307/2369311 . (osa 2);
E. Lucas. Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques (ranska) // American Journal of Mathematics : aikakauslehti. - 1878. - Voi. 1 , n o 4 . - s. 289-321 . - doi : 10.2307/2369373 . (osa 3)
A. Granville. Binomikertoimien aritmeettiset ominaisuudet I: Binomiaaliset kertoimet modulo prime powers (englanti) // Canadian Mathematical Society Conference Proceedings : Journal. - 1997. - Voi. 20 . - s. 253-275 . Arkistoitu alkuperäisestä 2. helmikuuta 2017.