Mason-Stothersin lause

Mason-Stothersin lause on abc - hypoteesin analogi polynomeille . Nimetty Stothersin mukaan, joka julkaisi sen vuonna 1981, [1] ja Masonin mukaan, joka löysi sen uudelleen sen jälkeen. [2]

Sanamuoto

Olkoon pareittain koprime - polynomeja kentän yli siten, että ainakin yhdellä niistä on nollasta poikkeava derivaatta. Sitten ${\näyttötyyli a(t),b(t),c(t)}$ $a+b=c$

\max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}\leqslant \deg(\operaattorinimi {rad} (abc))-1.

Tässä on polynomin radikaali, tämä on useiden redusoitumattomien tekijöiden tulos . Algebrallisesti suljetuille kentille polynomin radikaali on minimaalisen asteen polynomi, jolla on samat juuret kuin y ; tässä tapauksessa se on yksinkertaisesti erillisten juurien lukumäärä . [3] $\operaattorinimi {rad} f$ $f$ $f$ $f$ $\deg \operaattorinimi {rad} f$ $f$

Esimerkkejä

Ominaisuuden 0 kentillä ehto, että ainakin yksi derivaatta on nollasta poikkeava, vastaa sitä tosiasiaa, että vähintään yksi polynomi ei ole vakio. Ominaisuuskenttien yläpuolella ei riitä, että vaaditaan, että kaikki eivät ole vakioita. Esimerkiksi identiteetti antaa esimerkin, jossa , ja . $a',b',c'$ $p>0$ $a,b,c$ ${\näyttötyyli 1+t^{p}=(1+t)^{p))$ $\max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}=p$ $\deg(\operaattorinimi {rad} (abc))=2$
Jos otamme , niin saadaan esimerkki, jossa tasa-arvo saavutetaan Mason-Stothersin lauseessa, mikä osoittaa, että lauseen estimaatti on jossain mielessä parantamaton. ${\displaystyle a(t)=t^{n},c(t)=(t+1)^{n))$
Yksinkertainen seuraus Mason-Stothersin teoreemasta on Fermat'n viimeisen lauseen analogi funktiokentille: jos parittaisille koprime - ominaisuuksille kentässä, joka ei jaa , ja , niin ainakin yksi nollasta tai kaikki vakiot. ${\displaystyle a(t)^{n}+b(t)^{n}=c(t)^{n))$ $a,b,c$ $n$ $n > 2$ $a,b,c$

Todiste

Ehdosta seuraa , että ja . Merkitään . Tästä seuraa, että se jakaa . Koska kaikki GCD:t ovat pareittain koprimeja, niiden tulo jakaa . $a+b=c$ $b'a-ba'=c'a-a'c$ $a'b-ab'=c'b-cb'$ $W=a'b-ab'$ ${\text{gcd}}(a,a'),{\text{gcd}}(b,b'),{\text{gcd}}(c,c')$ $W$ $W$

On myös selvää, että . Päinvastoin: jos , niin sitten jakaa , siis (koska kaikille ei-vakioille ). Samalla tavalla saamme, että , joka on ristiriidassa ehdon kanssa. $W\neq 0$ $W=0$ $a'b=ab'$ $a$ $a'$ $a'=0$ $\deg a>\deg a'$ $a$ $b'=0,c'=0$

Molemmista väitteistä saamme sen

\deg {\text{gcd}}(a,a')+\deg {\text{gcd}}(b,b')+\deg {\text{gcd}}(c,c') \leqslant \deg W

Määritelmän mukaan meillä on $W$ $\deg W\leqslant \deg a+\deg b-1$

\deg {\text{gcd}}(a,a')+\deg {\text{gcd}}(b,b')+\deg {\text{gcd}}(c,c') \leqslant \deg a+\deg b-1

Jokaiselle polynomille on totta, että . Korvaamalla tässä ja korvaamalla yllä olevaan epätasa-arvoon saamme $P$ $\deg P-\deg \operaattorinimi {rad} (P)\leqslant \deg {\text{gcd}}(P,P')$ $P=a,b,c$

\deg abc-\deg(\operaattorinimi {rad} (a)\operaattorinimi {rad} (b)\operaattorinimi {rad} (c))\leqslant \deg a+\deg b-1

saamme sen

\deg c\leqslant \deg \operaattorinimi {rad} (abc)-1

mitä vaadittiin.

Snyder antoi alkeellisen todisteen Mason-Stothersin lauseesta. [neljä]

Yleistykset

On olemassa luonnollinen yleistys, jossa polynomirengas korvataan yksiulotteisilla funktiokentillä .

Antaa olla algebrallisesti suljettu kenttä ominaisuus 0, antaa olla tasainen projektiokäyrä suvun , Ja antaa olla rationaalisia toimintoja siten, että Ja antaa olla joukko pisteitä, jotka sisältävät kaikki nollat ja navat . Sitten $k$ $C/k$ $g$ ${\näyttötyyli a,b\in k(C)}$ $C$ $a+b=1$ $S$ $C(k)$ $a,b$

\max\{\deg(a),\deg(b)\}\leqslant \max\{|S|+2g-2,0\}.

Tässä funktion aste to on asteesta indusoitu mappaus . $k(C)$ $C$ $P^{1}$

Mason todisti tämän, ja Silverman julkaisi vaihtoehtoisen lyhyemmän todisteen samana vuonna. [5]

On olemassa Volochin [6] ja itsenäisesti Brownawellin ja Musserin [7] esittämä lisäyleistys , joka antaa ylärajan yhtälöille , joille on totta, ettei ole olemassa lineaarisesti riippumattomia osajoukkoja. Näillä olettamuksilla he todistivat sen $a_{1}+\ldots +a_{n}=1$ $a_{i}$ $k$

\max\{\deg(a_{1}),\ldots ,\deg(a_{n})\}\leqslant {\frac {1}{2}}n(n-1)\max\ {|S|+2g-2,0\}.

Linkit

↑ Stothers, W.W. (1981), Polynomial identities and hauptmoduln , Quarterly J. Math. Oxford , 2 Vol. 32: 349-370 , DOI 10.1093/qmath/32.3.349 .
↑ Mason, RC (1984), Diophantine Equations over Function Fields , voi. 96, London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge, Englanti: Cambridge University Press .
↑ Lang, Serge . Algebra (epämääräinen) . - New York, Berliini, Heidelberg: Springer-Verlag , 2002. - s . 194 . — ISBN 0-387-95385-X .
↑ Snyder, Noah (2000), Masonin lauseen vaihtoehtoinen todiste , Elemente der Mathematik osa 55 (3): 93–94, doi : 10.1007/s000170050074 , < http://cr.yp.to/0b/20 snyder.pdf > Arkistoitu 6. syyskuuta 2015 Wayback Machinessa .
↑ Silverman, JH (1984), The S-unit equation over function fields, Proc. Camb. Philos. soc. T. 95: 3–4 .
↑ Voloch, JF (1985), Diagonaaliyhtälöt funktiokenttien yli, Bol. soc. Brasilia. Matto. T. 16:29–39 .
↑ Brownawell, W. D. & Masser, D. W. (1986), Vanishing summas in function fields, Math. Proc. Cambridge Philos. soc. T. 100: 427–434 .

Ulkoiset linkit

Weisstein, Eric W. Mason's Theorem (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Mason-Stothersin lause ja ABC-oletus