Abc-hypoteesi

Abc -hypoteesi (Esterle-Musser-hypoteesi) on matemaatikoiden David Masserin vuonna 1985 [1] ja Joseph Esterlen vuonna 1988 [2] itsenäisesti muotoilema lausunto lukuteoriassa .

Abc -oletuksen todistaminen on pitkään ollut yksi lukuteorian tärkeimmistä ratkaisemattomista ongelmista ja on sitä edelleenkin. Tämän ongelman tila on tällä hetkellä kiistanalainen. Mochizukin vuonna 2012 saatua todistetta ei ole vielä voitu vahvistaa tai kumota.

Sanamuoto

Jokaiselle on vakio , jolla mille tahansa kolmelle yhteislukukokonaisluvulle ja siten , että epäyhtälö $\varepsilon > 0$ $K(\varepsilon)$ $a$ $b$ $c$ $a+b=c$

\max {\big (}|a|,|b|,|c|{\big )}\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\operaattorinimi {rad} (abc){\ iso )}^{1+\varepsilon },

missä on luvun radikaali eli numero , joka on yhtä suuri kuin tuotteen alkujakajien tulo . $\operaattorinimi {rad}(abc)$ $abc$ $abc$

Muistiinpanot

Ilman yleisyyden menettämistä voimme harkita vain nousevia luonnollisia lukuja , ja . Sitten eriarvoisuus pienenee seuraavaan: $a$ $b$ $c$ $c\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\operaattorinimi {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }.$
Ehto on välttämätön. Jokaiselle on kolminkertainen koprime-lukujen sellainen, että . Esimerkiksi muodon kolmoisosa , jossa . $\varepsilon > 0$ $K$ ${\näyttötyyli a,b,c=a+b}$ $c>K\cdot \operaattorinimi {rad} (abc)$ $a=1,b=2^{2\cdot 3^{n}}-1,c=2^{2\cdot 3^{n}}$ $K<3^{n-1}$

Seuraukset

Bealin olettamus ja Fermatin viimeinen lause

Abc -hypoteesin pätevyys merkitsee Bealin hypoteesin pätevyyttä riittävän suurille , ja siitä Fermatin viimeisen lauseen pätevyyttä riittävän suurille asteille [3] . $z$

Todistus Bealin oletukselle abc -hypoteesin perusteella

Bealin oletuksen mukaan, jos ( , , , , , ovat luonnollisia lukuja ja ), niin , , on yhteinen jakaja. $A^{x}+B^{y}=C^{z}$ $A$ $B$ $C$ $x$ $y$ $z$ $x,\;y,\;z>2$ $A$ $B$ $C$

Todistakaamme Bealen olettamus riittävän suureksi päinvastoin . Oletetaan, että on ääretön määrä , jolle Bealin olettamus on väärä. Käytämme abc - hypoteesia, jonka mukaan: $z$ $z$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operaattorinimi {rad}(A^{x}B^{y}C^{z})\right)^{{1+\varepsilon } }

Opitaan se . Siksi: $\operaattorinimi {rad}(A^{x}B^{y}C^{z})=\operaattorinimi {rad}(ABC)\leqslant ABC$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operaattorinimi {rad}(ABC)\oikea)^{{1+\varepsilon }}\leqslant K(\varepsilon )\cdot (ABC)^ {{1+\varepsilon}}

Koska lauseen ehdoista käy ilmi, että ja , niin . Sitten: $A<C$ $B<C$ $ABC\leqslant C^{3}$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot C^{{3+3\varepsilon }}

Ottamalla epäyhtälön molempien osien logaritmi ja jakamalla :lla saadaan yläraja arvolle : $\log C$ $z$

z\leqslant {\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C))+3+3\varepsilon

, (*)

lisäksi suhteen tulee olla äärellinen, koska ehdon mukaan , , , ovat luonnollisia (eli ) ${\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C))$ $A$ $B$ $C$ $A,B\geqslant 1\;\Rightarrow \;C\geqslant 2$

Siten on mahdollista löytää jokin äärellinen arvo , jolle epäyhtälö (*) ei täyty, eli abc -hypoteesi ei päde tässä, mikä tarkoittaa, että oletus Bealin hypoteesin pätemättömyydestä riittävän suurelle on virheellinen . . Jäljellä olevalle äärelliselle suurelle Bealin olettamus voidaan todistaa numeerisesti. $z$ $z$ $z$

Pillain ja katalaanien hypoteesit

Abc -hypoteesin pätevyydestä seuraa Pillai -hypoteesin pätevyys ja siitä Katalonian hypoteesin pätevyys .

Mochizukin todiste

Elokuussa 2012 arvostettu japanilainen matemaatikko Shinichi Mochizuki ilmoitti onnistuneensa todistamaan abc -oletuksen [4] [5] . Hänen ehdottamansa todistus osoittautui erittäin vaikeaksi jopa erikoismatemaatikoiden näkökulmasta [6] .

Lähetettyään todisteen verkossa, Mochizuki kieltäytyi kaikista tarjouksista kertoa tuloksistaan yhteisölle henkilökohtaisesti, mutta useat matemaatikot ottivat tehtäväkseen varmistaa todisteen Mochizukin avulla. He julkaisevat tämän työn edistymisraportteja [7] . Vuoden 2015 lopusta lähtien Mochizuki alkoi kommunikoida pikkuhiljaa yhteisön kanssa tuloksistaan [8] . Vuoden 2017 lopussa maailmassa on 10–20 Mochizukin [9] luoman teorian asiantuntijaa .

Siten todiste Shinichi Mochizukista on julkisesti saatavilla, sitä ei ole kiistetty, mutta sitä ei pidetä vielä tarkistettuna tiedeyhteisössä. On epätavallista, että todiste pysyy tässä määrittelemättömässä tilassa pitkään [9] [10] (toisin kuin tapaukset, joissa todistetuissa ja oikeiksi pidetyissä todisteissa havaittiin virheitä).

Vuonna 2018 Peter Scholze ja Jakob Stix, abc -hypoteesiin ja Mochizukin työhön liittyvien alojen asiantuntijat , ilmoittivat, että Mochizukin teorian abc -hypoteesin todistamisen avainkohdassa (joka on pitkään aiheuttanut erityisiä vaikeuksia matemaatikoille, jotka yrittävät ymmärtää teoriaa) on kohtalokas virhe [11] [6] . Mochizuki vastasi, että Stix ja Scholze tulkitsivat väärin joitakin hänen todisteensa keskeisiä näkökohtia ja tekivät siksi kelpaamattomia yksinkertaistuksia [12] .

Vuodesta 2020 lähtien Mochizukin todistus on edelleen epävarmassa asemassa, matemaattinen yhteisö ei ole vakuuttunut sen oikeellisuudesta huolimatta siitä, että todistus hyväksyttiin julkaistavaksi julkaisussa Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS, "Publications of the Research"). Institute for Mathematical Sciences") Kioton yliopiston (Japani) matemaattisten tieteiden tutkimuslaitos on instituutti, jossa Mochizuki työskentelee [13] [14] .

Maaliskuussa 2021 Mochizukin todistus julkaistiin PRIMS:ssä [15] .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ DW Masser. Avoimet tehtävät (englanniksi) // Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory / WWL Chen. - Lontoo: Imperial College, 1985. - Voi. 25 .
↑ J. Oesterle. Nouvelles approches du "théorème" de Fermat (ranska) // Séminaire N. Bourbaki. - 1988. - Voi. 694 . — s. 165–186 . — ISSN 0303-1179 .
↑ R. Daniel Mauldin. Fermatin viimeisen lauseen yleistys: Beal-oletus ja palkintoongelma // AMS:n huomautuksia. - 1985. - Voi. 44 , no. 11 . - s. 1436-1437 .
↑ Japanilainen matemaatikko ilmoitti ABC-hypoteesin todisteeksi Lenta.ru (11. syyskuuta 2012) . Arkistoitu alkuperäisestä 14. syyskuuta 2012. Haettu 11. syyskuuta 2012.
↑ Mochizuki, Shinichi (elokuu 2012). Universaalienvälinen Teichmuller-teoria I: Hodge-teatterien rakentaminen , Inter-universaalinen Teichmuller-teoria II: Hodge-Arakelov-teoreettinen arviointi , Inter-universaalinen Teichmuller-teoria III: Log-theta-hilan kanoniset halkeamat. , Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations , saatavilla osoitteessa http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html Arkistoitu 2. helmikuuta 2021 osoitteessa Wayback-kone
↑ 12 David Michael Roberts . Tunnistamisen kriisi // Päätelmä. - 2019. - Vol. 4, ei. 3.
↑ IUTeich Verification Report 2013-12 Arkistoitu 13. syyskuuta 2014 Wayback Machinessa , IUTeich Verification Report 2014-12 Arkistoitu 22. tammikuuta 2015 Wayback Machinessa
↑ "Japanilainen Perelman" suostui selittämään matematiikan pääsalaisuuden. Arkistokopio päivätty 27. marraskuuta 2015 Wayback Machinessa // Lenta.ru, 2015-10-08
↑ 12 Timothy Revell . Hämmentävällä ABC-matematiikan todistuksella on nyt läpitunkematon 300-sivuinen "yhteenveto" . New Scientist (7. syyskuuta 2017). Haettu 8. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 23. joulukuuta 2017. (määrätön)
↑ Caroline Chen. Todistuksen paradoksi (4. toukokuuta 2013). Haettu 6. syyskuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 16. syyskuuta 2013. (määrätön) Käännös: Daniil Basmanov. Todistuksen paradoksi (17.6.2013). Käyttöpäivä: 6. syyskuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 14. syyskuuta 2016. (määrätön)
↑ Klarreich, Erica . Matematiikan titaanit kohtaavat eeppisen todisteen ABC-oletuksesta , Quanta (20. syyskuuta 2018). Arkistoitu alkuperäisestä 14. maaliskuuta 2021. Haettu 21. syyskuuta 2018 _ _
↑ Mochizuki, Shinichin raportti keskusteluista, pidetty 15.–20. maaliskuuta 2018, Inter-Universal Teichmüller Theory . Haettu 18. tammikuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 9. marraskuuta 2018. (määrätön)
Mochizuki, Shinichi Kommentit Scholze-Stixin käsikirjoituksesta, joka koskee Inter-Universal Teichmüller -teoriaa . Haettu 18. tammikuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 21. syyskuuta 2018. (määrätön)
Mochizuki, Shinichi Kommentteja Scholze-Stixin käsikirjoituksesta (2018-08 versio) Inter-Universal Teichmüller Theory -teoriasta . Haettu 18. tammikuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 24. lokakuuta 2018. (määrätön)
↑ Journalations of the Research Institute for Mathematical Sciences julkaisee kaikesta huolimatta matemaatikko Shinichi Mochizukin työn todisteena Esterle-Musser-oletuksesta Arkistokopio , joka on päivätty 11.6.2020 Wayback Machinessa // Lenta.Ru , 3. huhtikuuta 2020
↑ Luonto (UK): Matemaattinen todiste lukuteorian ravistamiseksi on tulossa . Haettu 12. huhtikuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 12. huhtikuuta 2020. (määrätön)
↑ Mochizuki, Shinichi Mochizukin todiste ABC-oletuksesta . Haettu 14. heinäkuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 3. toukokuuta 2021. (määrätön)

Linkit

Weisstein, Eric W. abc Conjecture (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Luennot ABC-hypoteesista: Luento 1 , Luento 2 , Luento 3 , Luento 4 (Keith Conrad).
R. Borcherds , matematiikan perustutkintopuheenvuoro: abc - oletus YouTubessa

Kirjallisuus

Ian Stewart . "Suurimmat matemaattiset ongelmat". - M . : " Alpina tietokirjallisuus ", 2016. - 460 s. — ISBN 978-5-91671-507-1 .