Toponogovin vertailulause

Toponogovin vertailulause on Riemannin geometrian yleinen lause.

Kaksiulotteisessa tapauksessa lauseen todisti Paolo Pizzetti [1] . Hänen työnsä jäi huomaamatta vuosisadan ajan. [2] Aleksandr Danilovich Aleksandrov [3] totesi lauseen itsenäisesti ja Viktor Andreevich Toponogov [4] yleisti korkeampiin ulottuvuuksiin.

Pakolliset määritelmät

Lauseen muotoilemiseksi tarvitsemme pari määritelmää. Olkoon täydellinen Riemannin monisto , jolla on vähintään 2-ulotteinen ja jonka poikkileikkauksen kaarevuus on vähintään jokin vakio . $M$ $\kappa$

Merkitään mallin kaarevuustasolla . At , Tämä on Euklidinen taso, klo , on isometrinen pintaan pallon säde Ja at , on Lobachevsky kaarevuus taso . ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ $\kappa$ $\kappa=0$ $\kappa >0$ ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ ${\tfrac 1{{\sqrt {\kappa ))))$ $\kappa<0$ ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ $\kappa$

Kolmio in on lyhimpien polkujen kolmio, joka yhdistää kolme pistettä pareittain. Tässä tapauksessa kutakin kolmesta pisteestä kutsutaan kolmion kärjeksi, ja kärjestä lähtevien lyhimpien pisteiden välistä kulmaa kutsutaan kulmaksi tässä kärjessä. $M$

Olkoon kolmio sisällä . Oletetaan, että on olemassa kolmio , jolla on yhtäläiset vastaavat sivut, ja lisäksi tällainen kolmio on ainutlaatuinen kongruenssiin asti. Tässä tapauksessa kolmiota kutsutaan kolmion mallikolmioksi . $\kolmio$ $M$ ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ ${\tilde \kolmio }_{\kappa }$ ${\tilde \kolmio }_{\kappa }$ ${\tilde \kolmio }_{\kappa }$ $\kolmio$ $M$

Huomaa, että mallikolmio määritellään aina, jos . Tapauksessa , tämä on totta, jos ympärysmitta on ehdottomasti pienempi kuin . ${\tilde \kolmio }_{\kappa }$ $\kappa \leq 0$ $\kappa >0$ $\kolmio$ $2\cdot \pi /{\sqrt {\kappa ))$

Antaa olla mallikolmio sisään . Määritellään mallikulma kulmamittaksi . $\kolmio {\tilde x}{\tilde y}{\tilde z}$ ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ $\kolmio xyz$ $M$ ${\tilde \measuredangle }_{\kappa }xyz$ $\measuredangle {\tilde x}{\tilde y}{\tilde z}$

Sanamuoto

Lause. Olkoon täydellinen Riemannin monisto ja poikkileikkauksen kaarevuus vähintään jokin vakio . Sitten minkä tahansa kolmion kulmat M:ssä eivät ole pienempiä kuin sen mallikolmion vastaavat kulmat . Toisin sanoen $M$ $\kappa$ $\kolmio$ ${\tilde \kolmio }_{\kappa }$

{\tilde \measuredangle }_{\kappa }xyz\leq \measuredangle xyz

mille tahansa kolmiolle . $\kolmio xyz$

Seuraukset

Oletetaan, että se on täydellinen Riemannin monisto, jolla on ei-negatiivinen kaarevuus. Sitten mille tahansa pisteelle funktio on 2-kovera; eli missä tahansa normaalissa geodeettisessa funktiossa funktio on kovera. $M$ $p\in M$ $f(x)=|px|_{M}^{2}$ $\gamma$ $t\mapsto f\circ \gamma (t)-t^{2}$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Myös käänteinen lause on totta, eli jos kulmien vertailu on totta mille tahansa kolmiolle Riemannin monissa, niin sillä on kaarevuus vähintään . $M$ $M$ $\kappa$

Merkitse jokaiselle kolmion sivulla olevalle pisteelle x vastaava sivun piste . Tällöin lauseen väite vastaa seuraavaa epäyhtälöä $\kolmio$ ${\tilde x}$ ${\tilde \kolmio }\kappa$ $|{\tilde x}-{\tilde y}|_{({\mathbb M}_{\kappa ))}\leq |xy|_{M}$

jossa tarkoittaa pisteiden välistä etäisyyttä ja Riemannin monistossa .

|xy|_{M}

x

y

M

Lauseen väite vastaa seuraavaa epäyhtälöä ${\tilde \measuredangle }_{\kappa }xpy+{\tilde \measuredangle }_{\kappa }ypz+{\tilde \measuredangle }_{\kappa }zpx\leq 2\cdot \pi$

mielivaltaisille neljälle pisteelle

p,x,y,z\in M

Katso myös

Rauchin vertailulause

Kirjallisuus

Gromol D., Klingenberg V., Meyer V., Riemannilainen geometria yleisesti, Mir, 1971, s. 343.
Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Johdatus Riemannin geometriaan. - Pietari: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .

Linkit

↑ Pizzetti, P., Paragone fra due triangoli a lati uguali. Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti (5). Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali 16(1), 1907, 6–11.
↑ Pambuccian, Victor; Zamfirescu, Tudor, Paolo Pizzetti: kolmioiden vertailugeometrian unohdettu alullepanija. Historia Math. 38 (2011), nro. 3, 415-422.
↑ A.D. Aleksandrov, Kuperien pintojen sisägeometria, Moskova-Leningrad, Gostekhizdat, 1948.
↑ V. A. Toponogov, Riemannin kaarevuusavaruudet, jotka on rajattu alhaalta Uspekhi Mat. Nauk, 14:1(85) (1959), 87–130