Rauchin vertailulause

Rauchin vertailulause on Riemannin geometrian perustulos . Todisti Rauch [1] .

Lauseen mukaan tiloissa, joissa on suurempi poikkileikkauskaarevuus , geodetiikka pyrkii lähentymään nopeammin. Tarkka muotoilu käyttää Jacobi - kenttiä .

Sanamuoto

Olkoon ja olla Riemannin monistoja . Antaa ja olla geodesics yksikkönopeudella sellainen, että ei ole konjugaattipisteitä pitkin , ja anna olla normaali Jacobi-kenttiä pitkin ja Sellainen, että ja . Oletetaan, että poikkileikkauksen kaarevuus ja kaikkialla täyttävät , jossa on 2-taso, joka sisältää , ja on 2-taso, joka sisältää . Siis kaikille . $M$ ${\tilde {M}}$ $\gamma \colon [0,T]\to M$ ${\tilde {\gamma }}\colon [0,T]\to {\tilde {M}}$ ${\widetilde {\gamma }}(0)$ ${\tilde {\gamma ))$ $J,{\tilde {J))$ $\gamma$ ${\tilde {\gamma ))$ $J(0)={\tilde {J))(0)=0$ $|J'(0)|=|{\tilde {J))'(0)|$ $M$ ${\tilde {M}}$ $K(\Pi )\leqslant {\widetilde {K))({\widetilde {\Pi )))$ $\Pi \subset T_{\gamma (t)}M$ ${\näyttötyyli {\piste {\gamma }}(t)}$ ${\tilde {\Pi }}\subset T_{{\tilde {\gamma }}(t)}{\tilde {M}}$ ${\piste {\tilde {\gamma ))}(t)$ $|J(t)|\geqslant |{\tilde {J}}(t)|$ ${\näyttötyyli t\in [0,T]}$

Seuraukset

Olkoon Riemannin monisto ja geodeesilla ei ole konjugaattipisteitä, niin: $M$ $\gamma \colon [0,T]\to M$

Jos on ei-negatiivinen poikkisuuntainen kaarevuus, niin mille tahansa Jacobi-kenttään sellainen, että Meillä on $M$ $J$ $J(0)=0$ $|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |t|.$
Jos poikkileikkauksen kaarevuus on vähintään 1, niin $M$ $|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\sin t|.$
Jos poikkileikkauksen kaarevuus on enintään −1, niin $M$ $|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\operaattorin nimi {sh} t|.$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Rauch, HE Avustus differentiaaligeometriaan suuressa // Ann. Math.. - 1951. - Vol. 54.—S. 38–55. - doi : 10.2307/1969309 . . MR : 42765

Linkit

Gromol D., Klingenberg V., Meyer V., Riemannilainen geometria yleisesti, Mir, 1971, s. 343.
Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Johdatus Riemannin geometriaan. - Pietari: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .