Sturmin vertailulause

Sturmin vertailulause on klassinen lause, joka antaa kriteerin joidenkin lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen värähtelyttömyydelle .

Nimetty Jacques Charles François Sturmin mukaan . [1] Laajennetun version alla esitetystä lauseesta on hankkinut Mauro Picone . [2]

Sanamuoto

Olkoot p i , q i i = 1, 2 reaaliarvoisia jatkuvia funktioita välillä [ a , b ] ja olkoon

$(p_{1}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{1}(x)y=0$
$(p_{2}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{2}(x)y=0$

ovat kaksi homogeenista toisen kertaluvun lineaarista differentiaaliyhtälöä itseliittyvässä muodossa

0<p_{2}(x)\leq p_{1}(x)

q_{2}(x)\geq q_{1}(x).

Olkoon u (1):n ei-triviaali ratkaisu, jonka juuret ovat z 1 :ssä ja z 2 :ssa , ja olkoon v (2):n ei-triviaali ratkaisu. Sitten yksi seuraavista ominaisuuksista on voimassa:

In ( z1 , z2 ) on x : t siten, että v ( x ) = 0; tai
Ratkaisut u ja v ovat verrannollisia; eli R :ssä on sellainen λ , että v ( x ) = λ u ( x ) .

Katso myös

Rauchin vertailulause on Sturmin vertailulausetta soveltamalla saatu Riemannin geometrian perustulos.

Muistiinpanot

↑ C. Sturm, Mémoire sur les équations différentielles dinéaires du second ordre, J. Math. Pures Appl. 1 (1836), 106–186
↑ M. Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione differentenziale lineare ordinaria del second'ordine, Ann. Scuola Norm. Pisa 11 (1909), 1–141.