Lifshitzin teoria

Lifshitzin teoria on yleinen teoria van der Waalsin ja Casimirin vaihteluvoimista . Teorian päätulos on sähkömagneettisen kentän vapaan energian kaava , jonka avulla voidaan saada materiaalipintojen väliin syntyvä paine fluktuaatiovoimien vaikutuksesta. Lifshitzin teoriassa väline on klassinen ja sähkömagneettinen kenttä on kvantti . Teorian kehitti Neuvostoliiton fyysikko Jevgeni Mihailovich Lifshitz vuonna 1956.

Lifshitzin kaava

Kaava energialle nollalämpötilassa

Energia kahden identtisen tasosuuntaisen levyn välisen etäisyyden funktiona:

E(a)={\frac {\hbar }{4\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\int _{ 0}^{\infty }d\xi \left\{\ln[1-r_{\textrm {TM}}^{2}(i\xi ,k_{\perp })e^{-2aq}]+ \ln[1-r_{\textrm {TE}}^{2}(i\xi ,k_{\perp })e^{-2aq}]\right\}

(yksi)

missä . Tässä on sähkömagneettisen kentän aaltovektorin projektio levyn pintatasolle, on kuvitteellinen taajuus, on valon nopeus , on alennettu Planck-vakio . Materiaalin ominaisuudet otetaan huomioon heijastuskertoimien - ja . Heijastuskertoimet saadaan Fresnelin kaavoilla : ${\displaystyle q^{2}=q^{2}(i\xi ,k_{\perp })=k_{\perp }^{2}+\xi ^{2}/c^{2))$ ${\displaystyle k_{\perp ))$ $\xi$ $c$ $\hbar$ $r_{\textrm {TE))$ $r_{\textrm {TM}}$

r_{\textrm {TM}}(i\xi ,k_{\perp })={\frac {\epsilon (i\xi )q(i\xi ,k_{\perp })-k(i \xi ,k_{\perp })}{\epsilon (i\xi )q(i\xi ,k_{\perp })+k(i\xi ,k_{\perp })))),\quad r_ { \textrm {TE}}(i\xi ,k_{\perp })={\frac {q(i\xi ,k_{\perp })-k(i\xi ,k_{\perp })}{ q (i\xi ,k_{\perp })+k(i\xi ,k_{\perp ))))),

(2)

missä . $k^{2}=k^{2}(i\xi ,k_{\perp })=k_{\perp }^{2}+\epsilon (i\xi )\xi ^{2}/ c^{2}$

Kaava paineelle nollalämpötilassa

Paine kahden identtisen tasosuuntaisen levyn välisen etäisyyden funktiona:

P(a)=-{\frac {\hbar }{2\pi ^{2))}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\int _ {0}^{\infty }d\xi \;q\left\{[r_{\textrm {TM}}^{-2}(i\xi ,k_{\perp })e^{2aq}-1 ]^{-1}+[r_{\textrm {TE}}^{-2}(i\xi ,k_{\perp })e^{2aq}-1]^{-1}\right\}

(3)

Käytetty merkintä on kuvattu edellä.

Kaava vapaalle energialle mielivaltaisessa lämpötilassa

Vapaa energia lämpötilan ja kahden eri tasosuuntaisen levyn välisen etäisyyden funktiona:

{\mathcal {F}}(a,T)={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{2\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }\ !{\text{ }}^{'}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\left\{\ln[1-r_{\textrm {TM}}^ {(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TM}}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp })e ^{-2aq_{l}}]+\ln[1-r_{\textrm {TE}}^{(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TE }}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp })e^{-2aq_{l}}]\right\}

(neljä)

tässä summan etumerkissä oleva alkuluku tarkoittaa kertojaa sarjan nollatermillä, indeksi 1 ja 2 heijastuskertoimella merkitsevät ensimmäistä ja toista levyä, vastaavasti, ovat Boltzmannin vakio , , ja ovat Matsubaran taajuuksia, jotka annetaan lausekkeella $1/2$ $k_{\mathrm {B} }$ $q_{l}^{2}=q^{2}(i\xi _{l},k_{\perp })=k_{\perp }^{2}+\xi _{l}^ {2}/c^{2}$ $\xi _{l}$

\xi _{l}=2\pi {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{\hbar }}l

(5)

Kaava paineelle mielivaltaisessa lämpötilassa

Paine lämpötilan ja kahden eri tasosuuntaisen levyn välisen etäisyyden funktiona:

P(a,T)=-{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }\!{\text{ } }^{'}\int _{0}^{\infty }q_{l}k_{\perp }dk_{\perp }\left\{\left[{\frac {e^{2aq_{l))} {r_{\textrm {TM}}^{(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TM}}^{(2)}(i\xi _{ l},k_{\perp })}}-1\oikea]^{-1}+\vasen[{\frac {e^{2aq_{l}}}{r_{\textrm {TE}}^{( 1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TE}}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp }}))) - 1\oikea]^{-1}\oikea\}

(6)

Käytetty merkintä on kuvattu edellä.

Muistiinpanot

Katso myös

Kirjallisuus

M. Bordag, G.L. Klimchitskaya, U. Mohideen, V.M. Mostepanenko. Casimir-efektin edistysaskel. – 2009.