Satunnaismatriisien teoria

Satunnaismatriisien teoria on matemaattisen fysiikan ja todennäköisyysteorian leikkauskohdassa oleva tutkimuslinja , jossa tutkitaan matriisien ryhmien ominaisuuksia , joiden elementit jakautuvat satunnaisesti. Pääsääntöisesti alkuaineiden jakautumislaki asetetaan. Tällöin tutkitaan satunnaismatriisien ominaisarvojen tilastoja ja joskus myös niiden ominaisvektoreiden tilastoja .

Satunnaismatriisien teorialla on monia sovelluksia fysiikassa, erityisesti kvanttimekaniikan sovelluksissa epäjärjestyneiden ja klassisen kaoottisten dynaamisten järjestelmien tutkimuksessa . Tosiasia on, että kaoottisen järjestelmän Hamiltonin voidaan usein ajatella olevan satunnainen hermiittinen tai symmetrinen reaalimatriisi , kun taas tämän Hamiltonin energiatasot ovat satunnaismatriisin ominaisarvoja.

Wigner sovelsi satunnaismatriisien teoriaa ensimmäistä kertaa vuonna 1950 kuvaamaan atomiytimen energiatasoja . Myöhemmin kävi ilmi, että satunnaismatriisien teoria kuvaa monia järjestelmiä, mukaan lukien esimerkiksi kvanttipisteiden energiatasot, kompleksin muotoisten potentiaalien hiukkasten energiatasot. Kuten kävi ilmi, satunnaismatriisien teoriaa voidaan soveltaa lähes kaikkiin kvanttijärjestelmiin, joiden klassinen vastine ei ole integroitavissa . Samaan aikaan energiatasojen jakautumisessa on merkittäviä eroja: integroitavan järjestelmän energiatasojen jakauma on pääsääntöisesti lähellä Poisson-jakaumaa , kun taas ei-integroitavalla järjestelmällä se on erilainen, mikä on ominaista satunnaismatriiseille (katso alla).

Satunnaismatriisien teoria osoittautui hyödylliseksi näennäisesti vieraissa matematiikan osissa, erityisesti Riemannin zeta-funktion nollien jakauma kriittisellä suoralla voidaan kuvata satunnaismatriisien joukolla [1] .

Satunnaismatriisien perusryhmät ja niiden sovellukset fysiikassa

On olemassa kolme päätyyppiä satunnaismatriisien ryhmiä, joilla on sovelluksia fysiikassa. Nämä ovat Gaussin ortogonaalinen ensemble , Gaussin unitaarinen kokonaisuus , Gaussin symplektinen kokonaisuus .

Gaussin unitaarinen kokonaisuus - yleisin kokonaisuus, koostuu mielivaltaisista hermiittisista matriiseista, joiden elementtien todellisilla ja kuvitteellisilla osilla on Gaussin jakauma . Gaussin unitaarijoukon kuvaamilla järjestelmillä ei ole minkäänlaista symmetriaa – ne ovat ei-invariantteja ajan käänteessä (sellainen ominaisuus on esimerkiksi ulkoisessa magneettikentässä olevilla järjestelmillä) ja ei-invariantteja spin-kiertojen aikana.

Gaussin ortogonaalinen ensemble koostuu symmetrisistä reaalimatriiseista. Gaussin ortogonaalinen kokonaisuus kuvaa järjestelmiä, jotka ovat symmetrisiä ajan käännöksen suhteen, mikä käytännössä tarkoittaa magneettikentän ja magneettisten epäpuhtauksien puuttumista tällaisissa järjestelmissä.

Gaussin symplektinen kokonaisuus koostuu hermiittisista matriiseista, joiden elementit ovat kvaternioneja . Gaussin symplektinen kokonaisuus kuvaa järjestelmää, joka sisältää magneettisia epäpuhtauksia, mutta ei ulkoisessa magneettikentässä.

Satunnaismatriisien spektrin tärkeimmät ominaisuudet

Ominaisuusarvojen jakautuminen

Riittävän suuren Gaussin satunnaismatriisin ominaisarvojen jakauma on ensimmäisessä approksimaatiossa puoliympyrä ( Wignerin puoliympyröiden laki ). Wignerin puoliympyrälaki täyttyy rajassa, joka vastaa jossain määrin semiklassista approksimaatiota kvanttimekaniikassa , se toteutuu tarkemmin mitä suurempi analysoitavan matriisin koko on. Äärillisen matriisin koossa energiatasojen jakaumalla on Gaussin "hännät". Puoliympyrät saadaan kaikille Gaussin ryhmille, tällä tasolla kaikki kolme yllä olevaa yhdistelmää antavat vastaavat jakaumat. Laadulliset erot kolmen ryhmän välillä ilmenevät seuraavalla tasolla, ominaisarvojen parittaisten korrelaatiofunktioiden tasolla. $\nu (E)\propto {\sqrt {E_{0}^{2}-E^{2))}$

Ominaisarvojen korrelaatiofunktio

Muistiinpanot

↑ Keating et al, 2000 .

Linkit

Weisstein, Eric W. Random Matrix (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Kirjallisuus

Mehta M. L. Satunnaiset matriisit. - 3. painos - New York: Academic Press, 1991.
Keating JP , Snaith NC Satunnaismatriisiteoria ja $\zeta (1/2+it)$ (englanniksi) // Commun. Matematiikka. Phys. : lehti. - 2000. - Voi. 214 . — s. 57–89 .