Wald testi

Wald - testi on tilastollinen testi , jolla testataan otostiedoista arvioitujen tilastollisten mallien parametrien rajoituksia . Se on yksi kolmesta perusrajoittetestistä todennäköisyyssuhdetestin ja Lagrangen kertoimen testin ohella . Testi on asymptoottinen, eli johtopäätösten luotettavuus edellyttää riittävän suurta otoskokoa.

Testin olemus ja menettely

Olkoon ekonometrinen malli parametrivektorilla . Hypoteesi on testattava käyttämällä esimerkkidataa , jossa on joidenkin parametrifunktioiden joukko (vektori). Testin ideana on, että jos nollahypoteesi pitää paikkansa, niin näytevektorin tulee olla jossain mielessä lähellä nollaa. Oletetaan, että parametriestimaatit ovat vähintään johdonmukaisia ja asymptoottisesti normaaleja (sellaisia ovat esimerkiksi maksimitodennäköisyysmenetelmän estimaatit ), ts. $b$ $H_{0}:~g(b)=0$ $g$ $g({\hattu {b)))$

${\sqrt {n}}({\hattu {b}}-b){\xrightarrow {n\rightarrow \infty }}N(0,V)$

Näin ollen rajalauseiden perusteella meillä on:

${\sqrt {n}}(g({\hat {b}})-g(b)){\xrightarrow {n\rightarrow \infty }}N(0,G(b)VG(b)^{T })$

missä on vektorin Jacobilainen (ensimmäisten derivaattojen matriisi) pisteessä . $G(b)={\frac {\partial g(b)}{\partial b))$ $g(b)$ $b$

Sitten

$(g({\hattu {b)))-g(b))^{T}(G(b)V_{{{\hat b))}G^{T}(b))^{{-1 }}(g({\hat {b}})-g(b)){\xrightarrow {n\rightarrow \infty }}\chi ^{2}(q)~,~~V_{({\hat b) }}}=V/n$

Jos nollahypoteesi ( ) täyttyy, niin meillä on $g(b) = 0$

$W=g({\hattu {b}})^{T}(G(b)V_{{{\hat b}}}G^{T}(b))^{{-1}}g({ \hattu {b))){\xrightarrow[ {H_{0}}]{n\rightarrow \infty }}\chi ^{2}(q)~,~~V_{({\hat b}}}= V/n$

Tämä on Waldin tilasto . Koska kovarianssimatriisi on yleisesti ottaen käytännössä tuntematon, sen sijaan käytetään jotakin estimaattia siitä. Myös kertoimien tuntemattomien todellisten arvojen sijasta käytetään niiden arvioita . Käytännössä saamme siis likimääräisen arvon , joten Wald-testi on asymptoottinen , eli oikeita johtopäätöksiä varten tarvitaan suuri otos. $V$ $b$ ${\hattu b}$ $W$

Jos tämä tilasto on suurempi kuin kriittinen arvo tietyllä merkitsevyystasolla , rajoitushypoteesi hylätään rajoittamattoman mallin ("pitkä malli") hyväksi. Muuten saattaa ilmetä rajoituksia ja on parempi rakentaa rajoituksilla varustettu malli, jota kutsutaan "lyhyeksi malliksi". $\chi _{{\alpha }}^{2}(q)$ $\alpha$

On huomattava, että Wald-testi on herkkä tavalle, jolla epälineaariset rajoitteet muotoillaan. Esimerkiksi yksinkertainen kahden kertoimen yhtäläisyyden rajoitus voidaan muotoilla niiden suhteen yhtäläiseksi. Tällöin testin tulokset voivat teoriassa olla erilaisia, vaikka hypoteesi on sama.

Erikoistapaukset

Jos funktiot ovat lineaarisia, eli testataan seuraavan tyyppistä hypoteesia , jossa on jokin rajoitusmatriisi, on jokin vektori, niin matriisi on tässä tapauksessa kiinteä matriisi . Jos puhumme klassisesta lineaarisesta regressiomallista, niin kerroinestimaattien kovarianssimatriisi on . Koska virhevarianssia ei tunneta, käytetään joko sen johdonmukaista estimaattia tai puolueetonta estimaattia . Siksi Wald-tilastolla on muoto: $g$ $H_{0}:~Ab=a$ $A$ $a$ $G(b)$ $A$ $V_{{{\hat {b}}}}=\sigma ^{2}(X^{T}X)^{{-1}}$ $\sigma ^{2}$ ${\hat {\sigma }}^{2}=ESS/n$ $s^{2}=ESS/(nk)$

$W=(A{\hattu {b}}-a)^{T}(A(X^{T}X)^{{-1}}A^{T})^{{-1}}(A {\hat {b}}-a)/s^{2}$

Tietyssä tapauksessa, kun rajoitusmatriisi on yksittäinen (eli kertoimien yhtäläisyys joidenkin arvojen kanssa tarkistetaan), kaavaa yksinkertaistetaan:

$W=({\hattu {b}}-a)^{T}(X^{T}X)({\hat {b}}-a)/s^{2}$

Jos otetaan huomioon vain yksi lineaarinen rajoitus , Wald-tilasto on yhtä suuri kuin $c^{T}b=a$

$W=(c^{T}ba)^{2}/(s^{2}c^{T}(X^{T}X)^{{-1}}c)$

Tässä tapauksessa Wald-tilasto on yhtä suuri kuin -tilaston neliö. $t$

Voidaan osoittaa, että klassisen lineaarisen mallin Wald-tilasto ilmaistaan pitkän ja lyhyen mallin neliöityjen residuaalien summana seuraavasti:

$W={\frac {ESS_{S}-ESS_{L}}{ESS_{L}/n}}$ ,

jossa indeksi viittaa pitkään malliin (pitkä) ja lyhyeen (lyhyeen). Jos käytetään puolueetonta virhevarianssin estimaattia, kaavassa on käytettävä . $L$ $S$ $n$ $(nk)$

Erityisesti regression merkityksen testaamiseksi kokonaisuutena saamme seuraavan kaavan Wald-tilastolle $ESS_{S}=TSS$

$W={\frac {TSS-ESS}{ESS/n}}=n{\frac {1-ESS/TSS}{ESS/TSS}}={\frac {nR^{2}}{1-R^ {2}}}$

missä on determinaatiokerroin . $R^2$

Suhde muihin testeihin

On osoitettu, että Wald-testi (W), todennäköisyyssuhdetesti (LR) ja Lagrangen kerrannaistesti (LM) ovat asymptoottisesti vastaavia testejä ( ). Kuitenkin äärellisillä näytteillä tilastojen arvot eivät täsmää. Lineaarisille rajoituksille epäyhtälö on todistettu . Siten Wald-testi hylkää useammin kuin muut testit nollahypoteesin rajoituksista. Epälineaaristen rajoitusten tapauksessa epäyhtälön ensimmäinen osa täyttyy, kun taas toinen osa ei yleensä. $LM=LR=W$ $LM\leqslant LR\leqslant W$

Wald-testin sijasta voit käyttää F-testiä , jonka tilastot lasketaan kaavalla:

$F={\frac {nk}{q}}W/n$

tai vielä yksinkertaisempaa , jos Wald-tilaston laskennassa käytettiin puolueetonta varianssin estimaattia. Tällä tilastolla on yleensä asymptoottinen Fisher-jakauma . Datan normaalijakauman tapauksessa äärellisillä näytteillä. $F=W/q$ $F(q,nk)$

Kirjallisuus

Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Econometrics. - M . : Delo, 2004. - 576 s.
William H. Greene. Ekonometrinen analyysi . - New York: Pearson Education, Inc., 2003. - 1026 s.