Lagrangen kertoimen testi

Lagrange -kerrointesti ( eng. Lagrange-kerrointesti, Score-testi ) on tilastollinen testi , jota käytetään otostiedoista arvioitujen tilastollisten mallien parametrien rajoitusten testaamiseen . Se on yksi kolmesta perusrajoittetestistä todennäköisyyssuhdetestin ja Wald-testin ohella . Testi on asymptoottinen, eli johtopäätösten luotettavuus edellyttää riittävän suurta otoskokoa.

Testin olemus ja menettely

Olkoon ekonometrinen malli parametrivektorilla b. Hypoteesi on testattava käyttämällä näytedataa , jossa g on joidenkin parametrifunktioiden joukko (vektori). Testin idea perustuu tunnetun Lagrange-kertoimien menetelmän soveltamiseen rajoitetun (lyhyen) mallin parametrien estimointiin perustuen malliin ilman rajoituksia (pitkä malli). Olkoon pitkän mallin log-todennäköisyys . Lyhyen mallin arvioimiseksi on tarpeen rakentaa Lagrange-funktio $H_{0}:~g(b)=0$ $paunaa)$

$F(b,\lambda )=l(b)-\lambda ^{T}g(b)$

Silloin enimmäisehdot näyttävät tältä:

${\frac {\partial F(b,\lambda )}{\partial b))={\frac {\partial l(b)}{\partial b))-G(b)\lambda =0~,~ ~g(b)=0~,~G(b)={\frac {\partial g(b)}{\partial b))$

Testi perustuu siihen, että jos rajoitukset täyttyvät, niin Lagrange-kertoimien tulee olla nolla. Koska parametrien todellisten arvojen sijasta käytetään arvioituja arvoja, Lagrange-kertoimien tulisi yksinkertaisesti olla mahdollisimman lähellä nollaa, eli voidaan osoittaa, että Lagrange-kertoimien estimaateilla on normaalijakauma nolla matemaattinen odotus ja kovarianssimatriisi, joka riippuu pitkien mallin parametriestimaattien kovarianssimatriisista. Sitten testitilastot $(GV_{{{\hat {b}}}}G^{T})^{{-1}}$

$LM=\lambda ^{T}GV_{({\hat {b}}}}G^{T}\lambda$

on Chi-neliöjakauma, jossa on q vapausastetta, missä q on rajoitusten lukumäärä.

Erikoistapaukset

Kun testataan lineaarista regressiomallia koskevia lineaarisia rajoituksia, LM-tilasto on yhtä suuri kuin

Voidaan osoittaa, että klassisen lineaarisen mallin LM-tilasto on

$LM={\frac {ESS_{S}-ESS_{L}}{ESS_{S}/n}}$

Varsinkin kun tarkistetaan regression merkitsevyys kokonaisuutena (eli testattaessa hypoteesia, että kaikkien muiden tekijöiden kuin vakion kertoimet ovat nolla) - neliöiden kokonaissumma (riippuvan muuttujan varianssi kerrottuna n:llä ). Näin ollen $ESS_{S}=TSS$

$LM={\frac {TSS-ESS}{TSS/n}}=n(1-ESS/TSS)=nR^{2}$ ,

missä on determinaatiokerroin . $R^2$

Suhde muihin testeihin

On osoitettu, että Wald-testi (W), todennäköisyyssuhdetesti (LR) ja Lagrangen kerrannaistesti (LM) ovat asymptoottisesti ekvivalentteja testejä (LM=LR=W). Kuitenkin äärellisillä näytteillä tilastojen arvot eivät täsmää. Lineaarisille rajoituksille epäyhtälö on todistettu . Siten Lagrange-kertoimien testi hyväksyy useammin kuin muut testit nollahypoteesin rajoituksista (harvemmin kuin muut hylkäävät sen). Epälineaaristen rajoitusten tapauksessa epäyhtälön ensimmäinen osa täyttyy, kun taas toinen osa ei yleensä. $LM\leqslant LR\leqslant W$

LM-testin sijaan voit käyttää asymptoottista F-testiä , jonka tilastot liittyvät LM-tilastoihin seuraavasti:

$F={\frac {LM}{n-LM}}{\frac {nk}{q}}~{\xrightarrow {d}}~F(q,nk)$ ,

missä k on mallin parametrien lukumäärä.

Monissa tapauksissa pienillä näytteillä tällainen testi on jopa edullisempi kuin alkuperäinen LM-testi.

Katso myös

Kirjallisuus

Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Econometrics. - M . : Delo, 2004. - 576 s.
William H. Greene. Ekonometrinen analyysi . - New York: Pearson Education, Inc., 2003. - 1026 s.