Juuri ratkaistava ongelma

Tällä hetkellä ei ole olemassa yhtä määritelmää täsmälleen ratkaistavalle ongelmalle kaikille matematiikan aloille. Tämä johtuu itse ongelmien erityispiirteistä ja niiden ratkaisun etsimismenetelmistä. Samaan aikaan ratkaisujen olemassaolon ja ainutlaatuisuuden määräävät peruslauseet perustuvat yleisiin periaatteisiin, jotka esitetään alla.

Algebralliset yhtälöt

Yhtälön ratkaiseminen tuntemattomalla tarkoittaa löytää arvot ( yhtälön juuret ), funktion nollat , jotka täyttävät tämän yhtälön [1] .

Tuntemattoman arvoja, jotka täyttävät yhtälön, eli kun sen sijaan korvataan, muuttavat yhtälön identiteetiksi, kutsutaan yhtälön juuriksi, samoin kuin vastaavaksi polynomiksi. [2] .

Vastaavasti Ratkaisemalla jonkin yhtälöjoukon (järjestelmän).

Tuntemattomien kanssa kutsutaan tuntemattomien arvojen joukkoksi , jotka samanaikaisesti täyttävät järjestelmän jokaisen yhtälön. Yhtälöjärjestelmä on täysin ratkaistu, jos kaikki tällaiset ratkaisut löytyvät. [3] .

Ratkaisu on likimääräinen, jos algebralliseen yhtälöön (yhtälöjärjestelmään) korvattaessa yhtälön oikean ja vasemman puolen arvon erotus on alle ratkaisun sallitun virheen.

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaali- ja integro-differentiaaliyhtälöissä jokaisessa yhtälössä on ääretön määrä numeerisia ratkaisuja, ja siksi kysymys on mahdollisuudesta kuvata tietyn differentiaaliyhtälön kaikkien numeeristen ratkaisujen joukko [4] .

Differentiaaliyhtälön ratkaisu ( integrointi ) koostuu funktioiden ( ratkaisujen , integraalien ) löytämisestä tietyltä äärelliseltä tai äärettömältä väliltä . Huomaa, että ratkaisut voidaan tarkistaa korvaamalla yhtälö [5] .

Differentiaaliyhtälöjärjestelmän integrointi voidaan usein pelkistää yhden kertaluvun n tavallisen differentiaaliyhtälön integrointiin eliminoimalla peräkkäin ( n  - 1) muuttujat ja niiden derivaatat tai korvaamalla korkeammat derivaatat tuntemattomilla apufunktioilla [6] .

Ratkaisu on likimääräinen, jos koko integrointivälin ajan, kun ratkaisu korvataan differentiaaliyhtälöllä (yhtälöjärjestelmä), yhtälön oikean ja vasemman osan arvon välinen ero on alle ratkaisun sallitun virheen. .

Matemaattiset tilastot

Kriteerausmallit, joissa on kiinteä otos ja peräkkäiset kriteerit, ovat erityistapauksia päätösfunktioista tai käyttäytymissäännöistä, jotka liittyvät hypoteesin (päätöksen) hyväksymiseen kunkin havaitun ominaisuuden otoksen osalta [7] .

Päätösten perustelut

Sekä algebrallisten että differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen etsiminen perustuu lauseisiin ratkaisujen olemassaolosta ja niiden ainutlaatuisuudesta.

Olemassaololauseet

Jotta alku- tai raja-arvotehtävän muotoilu olisi oikein, tarvitaan todiste ratkaisun olemassaolosta, joka joskus osoittaa sen rakentamistavan. Tietyn differentiaaliyhtälön kuvaaman fysikaalisen ilmiön olemassaolo voi vain ehdottaa, mutta ei todistaa, ratkaisun olemassaoloa; olemassaolon todistus tarkistaa matemaattisen mallin riippumattomuuden [8] .

Algebrallisten yhtälöiden olemassaololauseet perustuvat useisiin lauseisiin. Erityisesti Abel-Ruffinin lauseessa mahdottomuus saada ratkaisuja radikaaleissa mille tahansa tehoyhtälölle, joka on viidennen yläpuolella; lauseesta algebrallisen yhtälön asteen juurien lukumäärän vastaavuudesta; Routh - Hurwitzin stabiliteettikriteereillä Sturmin lauseella , joka määrittää , onko ratkaisuilla negatiivinen reaaliosa jne.

Yhtälöjärjestelmässä käytetään Cramerin sääntöä ; ehto homogeenisten lineaaristen yhtälöiden ei-triviaalille ratkaisulle, jossa oikea puoli on nolla, mikä koostuu järjestelmän päädeterminantin katoamisesta; yhtälöiden lineaarisen riippumattomuuden ehto, joka koostuu tuntemattomien lukumäärän yhtäläisyydestä järjestelmän yhtälöiden lukumäärän kanssa; edellytykset ratkaisun olemassaololle matriisin ja järjestelmän laajennetun matriisin asteiden yhtäläisyyden seurauksena jne. [9] .

Differentiaaliyhtälöiden olemassaololauseet rakentuvat Cauchyn menetelmälle , joka koostuu ratkaisun löytämisestä sarjan muodossa ja tämän sarjan konvergenssin osoittamisesta differentiaaliyhtälöille melko laajoilla oikean puolen oletuksilla; Picardin approksimaatiomenetelmällä [10] , pakatun kuvan menetelmällä [11] jne.

Ainutlaatuisuuslauseet ratkaisuille

Tämä lauseluokka määrittää sekä algebrallisten että integro-differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen ainutlaatuisuuden ja täydellisyyden. Erityisesti differentiaaliyhtälöiden osalta teoreemojen geometrinen tulkinta on seuraava: yksi integraalikäyrä kulkee alueen D jokaisen pisteen läpi. Algebrallisen yhtälöjärjestelmän osalta ainutlaatuisuuslauseessa sanotaan, että n yhtälöjärjestelmällä voi olla enintään n ratkaisua. Analyyttisessä geometriassa ainutkertaisuuslause määrittää vektorin laajennuksen yksilöllisyyden kantan suhteen sekä kannan vektorien riippumattomuuden (kannan täydellisyys) [12] . Funktioteoriassa ainutlaatuisuuslause todistaa kunkin tietyn alueen pistejoukon esittämisen ainutlaatuisuuden tietyllä analyyttisellä funktiolla [13] . Mitä tulee analyyttisten funktioiden esittämisen ainutlaatuisuuteen, on otettava huomioon, että yleisessä tapauksessa sama pistejoukko voidaan kuvata sekä jollakin tietyllä funktiolla että yleistävällä funktiolla, joka saa eri muodon kussakin funktiossa. funktion toimialueet. Tämä synnyttää funktion haaroittumisia (haarautumia) ja vastaavasti mallinnusyhtälöjärjestelmän ratkaisuja [14] .

Tämä lauseluokka on pääsääntöisesti todistettu "ristiriidalla", eli oletetaan, että lauseen annetuissa olosuhteissa on useita ratkaisuja, kantavektorit voidaan ilmaista toistensa kautta jne. ja ottamalla huomioon Tämän oletuksen perusteella ne johtavat siihen johtopäätökseen, että tehty johtopäätös on virheellinen olettamus, mikä todistaa lauseen pääväitteen ratkaisun ainutlaatuisuudesta [15] .

Päätöslomakkeet

Yhtälöiden ratkaisut voidaan saada kahdessa muodossa:

Analyyttinen muoto on aina parempi, koska sen avulla ratkaisua voidaan käyttää suoraan sen parametrien vaikutuksen analysointiin. Numeerisesti tämä on vaikeaa. Numeerisia ja likimääräisiä ratkaisumenetelmiä käytetään johtuen siitä, että tarkkojen ratkaisujen valikoima on merkittävästi rajoitettu [16] . Yhdistelmäratkaisut antavat parhaan tuloksen, kun numeerinen menetelmä perustuu läheisen ongelman johonkin analyyttiseen ratkaisuun, jota laajennetaan numeerisilla menetelmillä ongelmaalueelle, jossa analyyttisiä ratkaisuja ei ole. Suurin vaara tässä yhdistetyssä menetelmässä on, että se ei ota huomioon siirtymisen erityispiirteitä täsmällisesti ratkaistavasta ongelmasta numeerisesti ratkaistavaan ongelmaan. Erityisesti olemassa olevat likimääräiset ratkaisut dynaamisille järjestelmille, joissa on niputettuja parametreja, sisältävät hajautettujen parametrien järjestelmien tunnettujen analyyttisten ratkaisujen kautta systemaattisen virheen värähtelyvaiheessa, joka johtuu siitä, että siirryttäessä rajalle järjestelmistä, joissa on niputetut parametrit järjestelmiin, joissa on hajautetut parametrit, vaihesuhteet muunnetaan siten, että ne eivät ole palautettavissa käänteisen siirtymän aikana [17] .

Muistiinpanot

  1. ↑ Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja tutkijoille ja insinööreille. M., Nauka, 1968, s. 41
  2. ↑ Vinogradov I. M. Algebrallinen yhtälö. Matemaattinen tietosanakirja. M., Soviet Encyclopedia, osa 1, s. 192
  3. ↑ Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja tutkijoille ja insinööreille. M., Nauka, 1968, s. 49
  4. ↑ Pontryagin L. S. Tavalliset differentiaaliyhtälöt. M., Nauka, 1970, s. 9
  5. ↑ Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja tutkijoille ja insinööreille. M., Nauka, 1968, s. 252
  6. ↑ Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja tutkijoille ja insinööreille. M., Nauka, 1968, s. 253
  7. ↑ Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja tutkijoille ja insinööreille. M., Nauka, 1968, s. 565
  8. ↑ Korn G., Korn T., Matematiikan käsikirja tutkijoille ja insinööreille. M., Nauka, 1968, s. 253
  9. ↑ Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja tutkijoille ja insinööreille. M., Nauka, 1968, s. viisikymmentä
  10. ↑ Freiman L. S. Olemassaololauseet. M., Nauka, 1968.
  11. ↑ Pontryagin L. S. Tavalliset differentiaaliyhtälöt. M., Nauka, 1970, s. 153
  12. ↑ Gursky E. I., Ershova V. V. Lineaarisen algebran ja analyyttisen geometrian perusteet. Minsk, Higher School, 1968, s. 113
  13. ↑ Shilov G. E. Matemaattinen analyysi. Yhden muuttujan funktiot, osat 1-2, M., Nauka, 1969, s. 426
  14. ↑ Ratkaisuja loputtomiin joustaviin kokkareisiin linjoihin
  15. ↑ Pontryagin L. S. Tavalliset differentiaaliyhtälöt. M., Nauka, 1970, s. 159
  16. ↑ Elsgolts L. E. Differentiaaliyhtälöt ja variaatiolaskenta. M., Nauka, 1969, s. 39.
  17. ↑ Joitakin pakotettujen värähtelyjen simuloinnin ominaisuuksia84