Kolminkertaiset Golay-koodit

Kolminkertaiset Golay-koodit ovat kaksi läheisesti liittyvää virheenkorjauskoodia . Koodi, joka tunnetaan yksinkertaisesti kolmiosaisena Golay-koodina , on -koodi, eli se on lineaarinen koodi kolmen aakkoston yli . Koodien suhteellinen etäisyys on maksimi kolmiosaisille koodeille, joten kolmiosainen Golay-koodi on täydellinen koodi . Laajennettu ternaarinen Golay-koodi on lineaarinen koodi [12, 6, 6], joka saadaan lisäämällä koodiin [11, 6, 5] tarkistusnumero (antaen nollasumman). Finite Group Theory -teoriassa laajennettua kolmiosaista Golay-koodia kutsutaan joskus yksinkertaisesti kolmiosaiseksi Golay-koodiksi. ${\displaystyle [11,6,5]_{3))$

Ominaisuudet

Ternary Golay koodi

Täydellinen kolmiosainen Golay-koodi
Nimetty	Marcel Golay
Tyyppi	lohkokoodi
Lohkon pituus	yksitoista
Viestin pituus	6
Jaa	6/11 ~ 0,545
Etäisyys	5
Aakkosten koko	3
Nimitys	${\displaystyle [11,6,5]_{3))$

Kolmiosainen Golay-koodi koostuu 3 6 = 729 koodisanasta. Sen pariteettitarkistusmatriisi

\left[{\begin{array}{ccccccccccc}1&1&1&2&2&0&1&0&0&0&0\\1&1&2&1&0&2&0&1&0&0&0\\1&2&1&0&1&2&0&0&1&1&0&1&2&0&0&1&0

Mikä tahansa kahdesta eri koodisanasta eroaa vähintään viidestä paikasta. Jokaisella kolmisanaisella sanalla, jonka pituus on 11, on Hamming-etäisyys enintään 2 täsmälleen yhdestä koodisanasta. Koodi voidaan muodostaa neliöjäännöskoodiksi , jonka pituus on 11 äärellisen kentän F3 yli .

11-pelin jalkapalloarvonnoissa käytetty kolminkertainen Golay-koodi vastaa 729 vetoa ja takaa täsmälleen yhden vedon enintään 2 väärällä tuloksella

Koodisanojen joukko, joiden Hamming-paino on 5, on 3-(11,5,4) lohkokaavio .

Laajennettu kolmiosainen Golay-koodi

Laajennettu kolmiosainen Golay-koodi
Nimetty	Marcel Golay
Tyyppi	lohkokoodi
Lohkon pituus	12
Viestin pituus	6
Jaa	6/12 = 0,5
Etäisyys	6
Aakkosten koko	3
Nimitys	${\näyttötyyli [12,6,6]_{3))$

Laajennetun kolmiulotteisen Golay-koodin täydellinen painonlukija

x^{12}+y^{12}+z^{12}+22\left(x^{6}y^{6}+y^{6}z^{6}+z^{ 6}x^{6}\oikea)+220\vasen(x^{6}y^{3}z^{3}+y^{6}z^{3}x^{3}+z^{ 6}x^{3}y^{3}\oikea).

Laajennetun ternäärisen koodiryhmän automorfismiryhmä on 2. M 12 , missä M 12 on Mathieu-ryhmä M12 .

Laajennettu kolmiosainen Golay-koodi voidaan rakentaa 12: n Hadamard-matriisin riveiksi kentän F3 päälle .

Harkitse kaikkia laajennettuja koodisanoja, joissa on kuusi nollasta poikkeavaa numeroa. Paikkajoukot, joissa nämä nollasta poikkeavat numerot esiintyvät, muodostavat Steiner-järjestelmän S(5, 6, 12).

Historia

Golayn kolmikoodin löysi Golay [1] . Koodin löysi itsenäisesti kaksi vuotta aiemmin suomalainen vedonlyöntiharrastaja Juhani Virtakallio, joka julkaisi sen vuonna 1947 Veikkaajan [2] -lehden numeroissa 27, 28 ja 33 .

Katso myös

Binäärinen Golay-koodi

Muistiinpanot

↑ Golay, 1949 .
↑ Barg, 1993 , s. 25.

Kirjallisuus

Aleksanteri Barg. Kooditeorian kynnyksellä // Matemaattinen tiedustelu . - 1993. - T. 15 , no. 1 . - S. 20-26 . — ISSN 0343-6993 . - doi : 10.1007/BF03025254 .
Golay MJE Huomautuksia digitaalisesta koodauksesta // Proceedings of the IRE . - 1949. - T. 37 . - S. 657 .
Algebrallinen koodausteoria: historia ja kehitys / Blake IF (toim.). - Stroudsburg: Dowden, Hutchinson & Ross, 1973.
JH Conway , NJA Sloane . Pallopakkaukset , ristikot ja ryhmät . - New York, Berliini, Heidelberg: Springer , 1988.
Robert L. Griess. Kaksitoista satunnaista ryhmää . - Springer, 1998.
Cohen G., Honkala I., Litsyn S., Lobstein A. Covering Codes. - Elsevier , 1997. - ISBN 0-444-82511-8 .
th. M. Thompson. Virhekoodien korjaamisesta pallopakkauksiin ja yksinkertaisiin ryhmiin . - The Mathematical Association of America , 1983. - ISBN 0-88385-037-0 .