Lyhennetään lankaa

Lyhennysvirtaus on prosessi, joka muuttaa tasaisen käyrän tasossa siirtämällä sen pisteitä kohtisuoraan käyrään nähden sen kaarevuutta vastaavalla nopeudella .

Lyhentyvää virtausta tutkitaan pääasiassa yksinkertaisimpana esimerkkinä geometrisestä virtauksesta , erityisesti sen avulla voit kehittää tekniikkaa työskennellä Ricci-virtauksella ja keskimääräisen kaarevuuden virtauksella .

Yhtälö

Yhden parametrin käyräperhe on ratkaisu virtauksen lyhentämiseen, jos jollakin parametrin arvolla on ${\näyttötyyli \gamma _{t))$ $\tau$

{\frac {\partial \gamma _{t}(\tau )}{\partial t))=\kappa _{t}(\tau )\cdot n_{t}(\tau ),

missä on kaarevuus ja käyrän etumerkki pisteessä ja on käyrän yksikkönormaalivektori pisteessä . $\kappa _{t}(\tau )$ ${\näyttötyyli \gamma _{t))$ $\gamma _{t}(\tau )$ $n_{t}(\tau )$ ${\näyttötyyli \gamma _{t))$ $\gamma _{t}(\tau )$

Ominaisuudet

Jos alkukäyrä on yksinkertainen ja suljettu, niin se pysyy sellaisena lyhenevän virtauksen vaikutuksesta.
Yksinkertaisella suljetulla käyrällä lyhenevä virtaus määritellään maksimivälillä . $\gamma _{0}$ ${\näyttötyyli \gamma _{t))$ ${\näyttötyyli t\in [0,T)}$
- Kohteessa , käyrä romahtaa pisteeseen. $t\to T$ ${\näyttötyyli \gamma _{t))$
Käyrän rajaama alue pienenee vakionopeudella. ${\frac {dS}{dt}}=2\cdot \pi .$
- Erityisesti pisteen romahtamisen hetken määrää täysin käyrän rajoittama alue: . $T={\tfrac {S_{0}}{2\cdot \pi }}$
Jos alkuperäinen käyrä ei ole kupera, sen suurin absoluuttinen kaarevuus pienenee monotonisesti, kunnes siitä tulee kupera.
Kuperalla käyrällä isoperimetrinen suhde pienenee, ja ennen kuin se katoaa singulaarisuuspisteessä, käyrä pyrkii ympyrän muotoiseksi. [yksi]
Kaksi ei-leikkautuvaa yksinkertaista sileää suljettua käyrää pysyvät leikkaamattomina, kunnes toinen niistä romahtaa johonkin pisteeseen.
Ympyrä on ainoa yksinkertainen suljettu käyrä, joka säilyttää muotonsa virtauksessa.
- Jotkut itsensä leikkaavat käyrät sekä äärettömän pituiset käyrät säilyttävät muotonsa.

Sovellukset

Pallon lyhentyvä virtaus on yksi todiste Arnoldin ongelmasta vähintään neljän käännepisteen olemassaolosta jokaiselle tasaiselle käyrälle, joka leikkaa pallon samanpinta-alaisiksi kiekoiksi. [2]

Muistiinpanot

↑ Gage, ME (1984), "Käyrän lyhentäminen tekee kuperista käyristä pyöreitä", Inventiones Mathematicae 76 (2): 357-364, doi: 10.1007/BF01388602
↑ Angenent, Sigurd. "Käännepisteet, ekstaattiset pisteet ja käyrän lyhennys." Hamiltonin järjestelmät, joissa on kolme tai useampia vapausasteita. Springer Alankomaat, 1999. 3-10.