Yhtenäinen tila

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7.11.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Unitaarinen avaruus on vektoriavaruus kompleksilukukentän yläpuolella , jolla on positiivinen [1] [2] Hermitian skalaaritulo , euklidisen avaruuden kompleksinen analogi .

Määritelmä

Hermitian skalaaritulo vektoriavaruudessa kompleksilukujen kentän yläpuolella on puolitoista lineaarinen muoto , joka täyttää lisäehdon [3] : $\mathbb {L}$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$

$(\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L} )\ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }},$ missä on universaali kvantori . $\kaikille$

Toisin sanoen tämä tarkoittaa, että funktio täyttää seuraavat ehdot [3] : $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$

1) skalaaritulon lineaarisuus suhteessa ensimmäiseen argumenttiin:

\forall \mathbf {x_{1},x_{2},y} \in \mathbb {L}

ja yhtäläisyydet ovat voimassa:

\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {C}

\langle \alpha \mathbf {x} _{1}+\beta \mathbf {x} _{2},\mathbf {y} \rangle =\alpha \langle \mathbf {x} _{1} ,\mathbf {y} \rangle +\beta \langle \mathbf {x} _{2},\mathbf {y} \rangle ;

(joskus määritelmässä he ottavat sen sijaan lineaarisuuden toisessa argumentissa, mikä ei ole tärkeää, koska ehdon vuoksi ne ovat ekvivalentteja) $(\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L} )\ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}$

2) skalaaritulon hermiittinen ominaisuus :

\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L}

reilu tasa-arvo

\mathbf {\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle ))} ;

3) skalaaritulon positiivinen määrittely :

(\forall \mathbf {x} \in \mathbb {L} )

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \in \mathbb {\mathbb {R} }

ja vain kun

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \geq 0,

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle =0

\mathbf {x=0} .

Ominaisuudet

Reaaliavaruudessa seskvilineaarisuusehto vastaa bilineaarisuutta ja hermiitisyys symmetrioihin, ja sisätuloksesta tulee positiivisesti määrätty bilineaarinen symmetrinen funktio . $\langle \cdot ,\cdot \rangle :{\mathbb L}\times {\mathbb L}\to \mathbb{R}$
Seskvilineaarinen muoto on hermiittinen silloin ja vain jos [3] , kun kaikille vektoreille funktio saa vain reaaliarvoja. $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $x\in {\mathbb L}$ $f(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle$

Erot euklidisesta avaruudesta

Yksikköavaruuksilla on kaikki euklidisten avaruuksien ominaisuudet neljää eroa lukuun ottamatta: [4]

$(\mathbf {x} ,\alpha \mathbf {y} )={\overline {\alpha }}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} );$
Cauchyn ja Bunyakovskyn epätasa-arvo : $\left|\mathbf {(x,y)} \right|^{2}\leqslant \mathbf {(x,x)(y,y)} ;$
kulman käsitteellä ei ole sisällöllistä merkitystä;
Vektorijärjestelmän Gram-matriisi on hermiittinen $\Gamma (f)=f^{T}f$ $f$ $\Gamma =\Gamma ^{*}.$

Kirjallisuus

Gelfand I. M. Luennot lineaarisesta algebrasta, Moskova: Nauka, 1971.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria, Fizmatlit, Moskova, 2009.

Muistiinpanot

↑ A. I. Kostrikin, Yu. I. Manin. Lineaarinen algebra ja geometria. - S. 126.
↑ A. E. Umnov. Analyyttinen geometria ja lineaarinen algebra. - Moskova: MIPT, 2011. - S. 400.
↑ 1 2 3 Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. - ch. VI, § 6.3. - M.: Fizmatlit, 2009.
↑ Shikin E. V. Lineaariset avaruudet ja kartoitukset. - M., Moskovan valtionyliopisto , 1987. - s. 51-52