Ramanujan-Nagelin yhtälö

Ramanujan-Nagel-yhtälö lukuteoriassa on seuraavan muotoinen yhtälö :

2^{n}-7=x^{2},

Se vaatii luonnollisten ratkaisujen löytämistä tuntemattomille ja . $n$ $x$

Tämä on esimerkki eksponentiaalisesta diofantiiniyhtälöstä . Yhtälö on nimetty intialaisen matemaatikon Srinivasa Ramanujanin ja norjalaisen matemaatikon Nagelin mukaan .

Historia

Tämä yhtälö syntyy ratkaistaessa seuraavaa tehtävää [1] : etsi kaikki Mersennen luvut , eli muodon mukaiset luvut, jotka ovat samanaikaisesti kolmiolukuja (eli joilla on muoto ). Yksinkertaiset muunnokset johtavat seuraavaan tulokseen: $($ ${\näyttötyyli 2^{b}-1)}$ ${\frac {y(y+1)}{2}}$

{\begin{aligned}&\ 2^{b}-1={\frac {y(y+1)}{2}}\\[2pt]\Longleftrightarrow &\ 8(2^{b} -1)=4y(y+1)\\\Pitkävasen oikea nuoli &\ 2^{b+3}-8=4y^{2}+4y\\\Pitkävasen oikea nuoli &\ 2^{b+3}-7=4v ^{2}+4v+1\\\Pitkävasen oikea nuoli &\ 2^{b+3}-7=(2v+1)^{2}\end{aligned}}

Korvauksen suorittamisen jälkeen saamme Ramanujan-Nagel-yhtälön. $n=b+3;\ x=2y+1,$

Ramanujan arveli vuonna 1913 [2] , että tällä yhtälöllä on vain viisi kokonaislukuratkaisua:

n	3	neljä	5	7	viisitoista	(sekvenssi A060728 OEIS : ssä )
x	yksi	3	5	yksitoista	181	(sekvenssi A038198 OEIS : ssä )

Kuten tavallista, Ramanujan ei toimittanut todisteita tai selittänyt, kuinka hän päätyi tällaiseen hypoteesiin. Ramanujanista riippumatta samanlaisen hypoteesin esitti vuonna 1943 norjalainen matemaatikko Wilhelm Jungren [3] . Vuonna 1948 toinen norjalainen matemaatikko, Trygve Nagel julkaisi todisteen [4] [5] .

Ratkaisuja vastaavia "kolmiomaisia Mersennen lukuja" kutsutaan usein Ramanujan-Nagel-luvuiksi [1] :

{\frac {y(y+1)}{2}}={\frac {(x-1)(x+1)}{8}}

Niitä on myös viisi: 0, 1, 3, 15, 4095 (sekvenssi A076046 OEIS : ssä ).

Muunnelmia ja yleistyksiä

Saksalainen matemaatikko Karl Ludwig Siegel harkitsi hieman yleisempää muodon yhtälöä:

x^{2}+D=AB^{n},

missä ovat kokonaislukuvakiot, ja on tarpeen löytää muuttujien luonnolliset arvot . Siegel todisti: ${\näyttötyyli D,A,B}$ $x,n$

tämän diofantiiniyhtälön ratkaisujen määrä on joka tapauksessa äärellinen [6] ;
: lle yhtälöllä on korkeintaan kaksi ratkaisua, paitsi yllä kuvattu tapaus ; $A=1,B=2$ $D=7$
on äärettömän monta arvoa , joille on kaksi ratkaisua [7] , esimerkiksi . $D,$ $D=2^{m}-1$

Esimerkki : Yhtälössä on kuusi ratkaisua: $D=119,A=15,B=2.$ $x^{2}+119=15\cdot 2^{n},$

n	3	neljä	5	6	kahdeksan	viisitoista
x	yksi	yksitoista	19	129	61	701

Toinen yleistys on Lebesgue-Nagel-yhtälö :

x^{2}+D=Ay^{n}

missä ovat kokonaislukuvakiot, ja on tarpeen löytää muuttujien luonnolliset arvot. Yhtälö on nimetty ranskalaisen matemaatikon Victor Amede Lebesguen mukaan, joka vuonna 1850 tutki yhtälöä ja todisti, että siinä on vain triviaaleja ratkaisuja [8] : ${\näyttötyyli D,A}$ $x,y,n.$ ${\displaystyle x^{2}+1=y^{n))$

0^{2}+1=y^{0};\quad 0^{2}+1=1^{n};\quad x^{2}+1=(x^{2}+ 1)^{1}

Schorin ja Teidemanin [9] tuloksista seuraa, että Lebesgue-Nagel-yhtälön ratkaisujen määrä on aina äärellinen [10] . Bugeaud, Mignotte ja Sixek ratkaisivat tämän tyyppiset yhtälöt [11 ] ja . Erityisesti alkuperäisen Ramanujan-Nagel-yhtälön yleistys: $A=1$ $1\leqslant D\leqslant 100$

y^{n}-7=x^{2}\,

sillä on positiivisia kokonaislukuratkaisuja, kun x = 1, 3, 5, 11 ja 181.

Katso myös

Pillain oletus : Yhtälöllä on aina vain äärellinen määrä ratkaisuja. $Ax^{n}-By^{m}=C$

Muistiinpanot

↑ 1 2 Deza E., Deza M. Kiharat numerot. - M. : MTSNMO, 2016. - S. 203-205. — 349 s. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .
↑ S. Ramanujan (1913). "Kysymys 464". J. Indian Math. Soc . 5 : 130.
↑ Ljunggren W. Oppgave nr 2 // Norsk Mat. Tidsskr. - 1943. - Voi. 25. - s. 29.
↑ Nagell T. Løsning till oppgave nr 2 // Norsk Mat. Tidsskr. - 1948. - Voi. 30. - s. 62-64.
↑ Skolem, T.; Chowla, S.; ja Lewis, DJ The Diophantine Equation and Related Problems. Proc. amer. Matematiikka. soc. 10, 663-669, 1959. $2^{n+2}-7=x^{2}$
↑ Saradha, Srinivasan, 2008 , s. 207.
↑ Saradha, Srinivasan, 2008 , s. 208.
↑ Lebesgue, Victor-Amédée (1850). "Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x m = y 2 + 1" . nouv. Ann. Matematiikka. Ser. 1 . 9 : 178-181. Arkistoitu alkuperäisestä 2020-12-04 . Haettu 18.2.2021 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Shorey TN, Tijdeman R. Eksponentiaaliset diofantiiniyhtälöt. - Cambridge University Press , 1986. - Voi. 87. - s. 137-138. — (Cambridge Tracts in Mathematics). - ISBN 0-521-26826-5 . — .
↑ Saradha, Srinivasan, 2008 , s. 211.
↑ Yann Bugeaud; Maurice Mignotte; Samir Siksek (2006). "Klassinen ja modulaarinen lähestymistapa eksponentiaalisiin diofantiiniyhtälöihin II. Lebesgue–Nagell-yhtälö”. sävellykset. Matematiikka . 142 :31-62. arXiv : math/0405220 . DOI : 10.1112/S0010437X05001739 .

Kirjallisuus

Nagell T. Diofantiiniyhtälö x 2 + 7 = 2 n // Ark. Mat.. - 1961. - T. 30. - P. 185-187. - . - doi : 10.1007/BF02592006 .
Saradha N., Srinivasan A. Yleiset Lebesgue-Ramanujan-Nagell-yhtälöt // Diofantiiniyhtälöt. - Narosa, 2008. - S. 207-223. — ISBN 978-81-7319-898-4 .

Linkit

X:n arvot, jotka vastaavat N: ää Ramanujan–Nagell-yhtälössä . wolfram mathworld. Haettu: 8. toukokuuta 2012.