Viidennen asteen yhtälö

Viidennen asteen yhtälöä kutsutaan muodon yhtälöksi : $ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0$

Vietan lause viidennen asteen yhtälöille

Viidennen asteen yhtälön juuret liittyvät kertoimiin seuraavasti: ${\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4},\,x_{5))$ ${\näyttötyyli a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f}$

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=-{\frac {b}{a)),

x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{1}\,x_{5}+x_{2 }\,x_{3}+x_{2}\,x_{4}+x_{2}\,x_{5}+x_{3}\,x_{4}+x_{3}\,x_{5 }+x_{4}\,x_{5}={\frac {c}{a)),

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_ {5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{5}+x_{1}\,x_{4}\, x_{5}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_{2}\,x_{4}\ ,x_{5}+x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {d}{a)),

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_ {1}\,x_{2}\,x_{4}\,x_{5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}+x_{2}\ ,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}={\frac {e}{a)),

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {f}{a)).

Ratkaisu

Viidennen asteen yhtälön ratkaisemiseksi ei ole tarkkaa kaavaa. Jos , yhtälö näyttää tältä: $a=1,f=0$

$x^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex=0$ , jossa otamme sen pois suluista (katso yhteenvetoyhtälö ) $x$

$x(x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e)=0$ , jossa yksi juurista on nolla .

Neljännen asteen yhtälö suluissa .

Jos yhtälö on kaksikvadraattinen . Yksi juurista on nolla, loput juuret etsitään kaavan mukaan $b=d=0$

${\textstyle \pm {\sqrt {-c\pm {\frac {\sqrt {c^{2}-4e}}{2}}}}}$ .

Jos , yhtälö suluissa on $b=e=0$

$x^{4}+cx^{2}+dx=0$ , josta otamme pois sulut:

$x(x^{3}+cx+d)=0$ , jossa yksi juurista on nolla, etsimme kolme muuta juuria Cardanon kaavalla .

Esimerkki

Ratkaise yhtälö

$x^{5}+5x=0$ .

Ratkaisu. Otetaan se pois suluista: $x$

$x(x^{4}+5)=0$ .

Otetaan se huomioon: $x^{4}+5$

$x(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt { 2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\ sqrt {2}}}i)(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}} {\sqrt {2}}}i)=0$ .

Yhtälöllä on viisi juuria:

$x_{1}=0$ , , , , . $x_{2}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$ $x_{3}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\ sqrt{2}}}i$ $x_{4}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\ sqrt{2}}}i$ $x_{5}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$

Linkit

Algebralliset yhtälöt
Lineaarinen yhtälö Toisen asteen yhtälö kuutio yhtälö Neljännen asteen yhtälö Viidennen asteen yhtälö Kuudennen asteen yhtälö Seitsemännen asteen yhtälö