Lagrangen yhtälöt (nestemekaniikka)

Lagrangen yhtälöt ( hydromekaniikassa ) - kokoonpuristumattoman ideaalinesteen hiukkasten liikeyhtälöt Lagrange-muuttujissa , joiden muoto on:

\left(X-{\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2))}\right){\frac {\partial x}{\partial a_{i))} +\left(Y-{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2))}\right){\frac {\partial y}{\partial a_{i))}+\ vasen(Z-{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2))}\right){\frac {\partial z}{\partial a_{i))}={\frac {1}{\varrho )){\frac {\partial p}{\partial a_{i))},\qquad (i=1,2,3),\qquad (1)

missä on aika, , , ovat nestehiukkasen koordinaatit, , , ovat parametrit, joilla väliaineen hiukkaset erotetaan toisistaan (nämä parametrit voivat olla koordinaattien arvoja , , jossain vaiheessa aika ), , , ovat kehon voimien projektiot, ovat paine, - tiheys. Vastaanottanut J. L. Lagrange noin 1780. $t$ $x$ $y$ $z$ $a_{1}$ $a_{2}$ $a_{3}$ $x_{0}$ $y_0$ $z_{0}$ $t_0$ $X$ $Y$ $Z$ $s$ $\varrho$

Lagrange-muuttujien hydromekaniikan yleisongelman ratkaisu pelkistetään , , , sekä alku- ja reunaehtojen tuntemiseen , jotta , , , , määritetään ajan ja parametrien funktioina , , . Tämän ongelman ratkaisemiseksi on tarpeen lisätä yhtälöihin (1) jatkuvuusyhtälö , jolla on muoto Lagrange-muuttujissa ja tilayhtälö barotrooppiselle liikkeelle tai kokoonpuristumattomalle nesteelle . Jos riippuvuudet , , , , , löydetään , niin hiukkasten liikeradat, nopeudet ja kiihtyvyydet määritetään tavallisilla pistekinematiikan menetelmillä . $X$ $Y$ $Z$ $x$ $y$ $z$ $s$ $\varrho$ $a_{1}$ $a_{2}$ $a_{3}$ $\varrho =f(p)$ $\varrho =\mathrm {const}$ $x$ $y$ $z$ $a_{1}$ $a_{2}$ $a_{3}$ $t$

\varrho (a_{1},a_{2},a_{3},t){\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial a_{1))}&{\frac {\partial y}{\partial a_{1))}&{\frac {\partial z}{\partial a_{1))}\\{\frac {\partial x}{\partial a_{2)) }&{\frac {\partial y}{\partial a_{2))}&{\frac {\partial z}{\partial a_{2))}\\{\frac {\partial x}{\partial a_{3}}}&{\frac {\partial y}{\partial a_{3}}}&{\frac {\partial z}{\partial a_{3}}}\end{vmatrix}}=\ varrho _{0}(a_{1},a_{2},a_{3},t_{0}){\begin{vmatrix}{\frac {\partial x_{0}}{\partial a_{1} }}&{\frac {\partial y_{0}}{\partial a_{1}}}&{\frac {\partial z_{0}}{\partial a_{1}}}\\{\frac { \partial x_{0}}{\partial a_{2}}}&{\frac {\partial y_{0}}{\partial a_{2}}}&{\frac {\partial z_{0}}{ \partial a_{2))}\\{\frac {\partial x_{0}}{\partial a_{3}}}&{\frac {\partial y_{0}}{\partial a_{3}} }&{\frac {\partial z_{0}}{\partial a_{3}}}\end{vmatrix}}\qquad \qquad (2)

Yleensä hydromekaniikan tehtäviä ratkaistaessa käytetään Euler-yhtälöitä . Lagrangen yhtälöitä käytetään pääasiassa ei-stationaaristen liikkeiden - erityisesti nesteen värähtelevien liikkeiden - tutkimuksessa joissakin turbulenssiteorian kysymyksissä .

Kirjallisuus

Clark D., McChesney M. Todellisten kaasujen dynamiikka. - M .: Mir, 1967. - 566 s.
Kochin HE , Kibel I. A., Rose N. V. Teoreettinen hydromekaniikka. Osa 1. 6. painos. - M .: Fizmatgiz, 1963. - 584 s.
Kochin HE , Kibel I. A., Rose N. V. Teoreettinen hydromekaniikka. Osa 2. 4. painos. - M .: Fizmatgiz, 1963. - 728 s.
Landau L.D. , Lifshits E.M. Hydrodynamics. 5. painos - M .: Nauka, 1988. - 736 s.
Loytsyansky L.G. Nesteen ja kaasun mekaniikka. - M . : Bustard, 2003. - 840 s. — ISBN 5-7107-6327-6 . .
Prandtl L. Hydroaeromechanics. — M .: Izd-vo inostr. kirjallisuus, 1949. - 520 s.
Sedov L.I. Continuum Mechanics. Osa 1 . - M .: Nauka, 1970. - 492 s.
Sedov L.I. Continuum Mechanics. Osa 2 . - M .: Nauka, 1970. - 568 s.