Fuksialainen yksikköpiste

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 21. maaliskuuta 2017 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Kompleksisen ajan differentiaaliyhtälöiden teoriassa pistettä kutsutaan lineaarisen differentiaaliyhtälön fuksialaiseksi singulaariseksi pisteeksi $t=t_{0}\in \mathbb {C}$

{\piste {z}}=A(t)z,\quad z\in \mathbb {C} ^{n},\quad t\in \mathbb {C} ,

jos järjestelmämatriisissa A(t) on ensimmäisen kertaluvun napa . Tämä on yksinkertaisin mahdollinen lineaarisen differentiaaliyhtälön singulaarisuus kompleksisella ajalla.

Sanotaan myös, että se on fuksialainen singulaaripiste, jos piste osoittautuu fuksialaiseksi muutoksen jälkeen, toisin sanoen, jos järjestelmän matriisi pyrkii nollaan äärettömyyteen. $t=\infty$ $s = 0$ $t=1/s$ $A(t)$

Yksinkertaisin esimerkki

Yksiulotteisella differentiaaliyhtälöllä on fuksialainen singulaaripiste nollassa, ja sen ratkaisut ovat (yleensä moniarvoisia ) funktioita . Kun kierretään nollan ympärillä, ratkaisu kerrotaan luvulla . ${\piste {z}}={\frac {a}{t}}z$ ${\displaystyle z(t)=C\cdot t^{a))$ $\lambda =e^{2\pi ia}$

Ratkaisujen kasvu ja monodromiakartoitus

Kun lähestytään fuksialaista singulaarista pistettä missä tahansa sektorissa, ratkaisun normi ei kasva nopeammin kuin polynomi:

{\displaystyle \|z(t-t_{0})\|\leq C\|t-t_{0}\|^{-N))

joillekin vakioille ja . Siten jokainen fuksialainen yksikköpiste on säännöllinen . $C$ $N$

Poincaré-Dulac-Levelle normaalimuoto

Hilbertin 21. ongelma

Hilbertin kahdeskymmenesensimmäinen ongelma oli, että kun Riemannin sfäärin pisteet ja niiden komplementin perustavanlaatuinen ryhmä esitettiin, konstruoi differentiaaliyhtälöjärjestelmä, jossa on fuksialaisia singulaarisuuksia näissä pisteissä, joille monodromia osoittautuu annetuksi esitykseksi. Pitkään uskottiin, että Plemel (joka julkaisi ratkaisun vuonna 1908 ) ratkaisi tämän ongelman positiivisesti, mutta Yu. S. Iljashenko löysi hänen ratkaisussaan 1970-luvulla virheen. Itse asiassa Plemeljin rakenne mahdollisti vaaditun järjestelmän rakentamisen, kun ainakin yksi monodromiamatriiseista on diagonalisoitavissa . [yksi]

Vuonna 1989 A. A. Bolibrukh julkaisi [2] esimerkin joukosta singulaaripisteitä ja monodromiamatriiseja, joita ei voida toteuttaa millään fuksialaisella järjestelmällä, mikä ratkaisi ongelman negatiivisesti.

Kirjallisuus

↑ Yu. S. Ilyashenko, " Epälineaarinen Riemann-Hilbert-ongelma ", Differentiaaliyhtälöt todellisella ja kompleksisella ajalla, Artikkelikokoelma, Tr. MIAN, 213, Nauka, M., 1997, s. 10-34.
↑ A. A. Bolibrukh, "Riemann-Hilbert-ongelma kompleksisella projektiiviviivalla" , Mat. muistiinpanot, 46:3 (1989), 118-120

A. A. Bolibrukh, Käänteiset monodromiaongelmat differentiaaliyhtälöiden analyyttisessä teoriassa, M.: MTsNMO, 2009.
Yu. Iljašenko, S. Yakovenko, Luennot analyyttisistä differentiaaliyhtälöistä, AMS, 2007.