Mathieun toiminnot

Mathieu-funktiot ovat matemaattisia erikoisfunktioita , jotka ovat Mathieu-yhtälön jaksollisia ratkaisuja. Niitä käytetään erilaisten matemaattisen fysiikan ongelmien ratkaisemiseen , erityisesti aaltoliikkeen kuvaamiseen elliptisillä rajaehdoilla, parametrisen resonanssin ilmiön tutkimisessa, epälineaaristen värähtelyjen tutkimisessa teoreettisen ja kokeellisen fysiikan eri osissa jne.

Mathieun yhtälö

Mathieun yhtälö on muodon (kanoninen muoto) differentiaaliyhtälö :

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[a-2q\cos(2x)]y=0,

missä ja ovat parametrit, joista ratkaisun käyttäytyminen riippuu (stabiili tai epävakaa), tätä riippuvuutta havainnollistaa Ains-Strutt-kaavio . $a$ $q$

Mathieun yhtälön ratkaisuja

Floquet-lauseen mukaan Mathieun yhtälölle on aina ratkaisuja muodossa: , jossa on piste . Näillä ratkaisuilla ne ovat jaksollisia pisteen kanssa ja niitä kutsutaan Mathieu-funktioiksi . Ne on nimetty seuraavasti: . Mathieu-funktiot voidaan esittää kosinien tai sinien summina: missä suureet ovat Mathieun yhtälön suureiden funktioita . Arvot voidaan saada korvaamalla yhtälöön Mathieu-yhtälön ratkaisu Fourier-sarjan laajennuksena ja rinnastamalla vastaavat termit. $y(x)=\exp(\mu x)\phi (x)$ $\phi (x)$ $2\pi$ $\mu=0$ $2\pi$ $\mathrm {ce} _{0}(x),\mathrm {ce} _{1}(x),\mathrm {se} _{1}(x),\mathrm {ce} _{2 }(x),\mathrm {se} _{2}(x),...$ $\mathrm {ce} _{2n}(x)=\sum _{k}A_{k}\cos 2kx,\mathrm {ce} _{2n+1}(x)=\sum _{k }B_{k}\cos(2k+1)x,\mathrm {se} _{2n}(x)=\sum _{k}C_{k}\sin 2kx,\mathrm {se} _{2n+ 1 }(x)=\summa _{k}D_{k}\sin(2k+1)x,$ $A_{k},B_{k},C_{k},D_{k}$ $a,q$ $A_{k},B_{k},C_{k},D_{k}$

Katso myös

Hillin yhtälö

Kirjallisuus

Matthews J., Walker R. Matemaattiset menetelmät fysiikassa. Per. Englannista, M., Atomizdat , 1972, 392 sivua.
Mathieun yhtälö , EqWorld