Paraboliset sylinterin toiminnot

Paraboliset sylinterifunktiot ( Weber-funktiot ) on yleinen nimi erikoisfunktioille , jotka ovat differentiaaliyhtälöiden ratkaisuja, jotka on saatu soveltamalla muuttujien erotusmenetelmää matemaattisen fysiikan yhtälöille , kuten Laplacen yhtälö , Poisson -yhtälö , Helmholtzin yhtälö jne . parabolinen sylinterin koordinaattijärjestelmä .

Yleisessä tapauksessa parabolisen sylinterin funktiot ovat seuraavan yhtälön ratkaisuja

{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left(az^{2}+bz+c\right)f=0.\quad (1)

Suorittaessasi muuttujan lineaarista muutosta tässä yhtälössä saadaan seuraava yhtälö:

{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left(\nu +{\frac 12}-{\frac {z^{2}}{4}}\right)f =0,

joiden ratkaisuja kutsutaan Weber- funktioiksi ja ne on merkitty $D_{\nu }(z).$

Funktiot ovat Weberin yhtälön ratkaisuja, ja ei -kokonaisluvun funktiot ovat lineaarisesti riippumattomia. Sillä kaikki funktiot ovat myös lineaarisesti riippumattomia. $D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z),D_{-\nu -1}(iz),D_{-\nu -1}(-iz)$ $\nu$ $D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z)$ $\nu$ $D_{\nu }(z),D_{-\nu -1}(\pm iz)$

Käytännössä käytetään usein muita parabolisia sylinterifunktioita - Hermite-funktioita , jotka ovat ratkaisuja Hermite -yhtälöön , joka saadaan korvauksesta $(yksi)$ $f(\alpha z+\beta )=e^{-z^{2}}y(z)$

{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}-2z{\frac {dy}{dz}}+2\nu y=0.\qquad (2)

Hermite-funktiot on merkitty yhtälön yleisellä ratkaisulla $H_{\nu }(z).$ ${\näyttötyyli (2):}$

y(z)=c_{1}H_{\nu }(z)+c_{2}\Phi \left(-{\frac {\nu }{2));{\frac {1}{ 2}};z^{2}\oikea),

missä on rappeutunut hypergeometrinen funktio . $\Phi \left(\alpha ;\beta ;z\right)$

Jos kyseessä on ei-negatiivinen kokonaisluku , Hermite-funktio on sama kuin Hermite-polynomi . Negatiivinen kokonaisluku Hermite-funktio ilmaistaan suljetussa muodossa virhefunktiona . $\nu$ $\nu$

Toistuvat relaatiot ja differentiaatiokaavat

Toistuvat suhteet

D_{\nu }(z)={\dfrac {\Gamma (\nu +1)}{\sqrt {2\pi }}}\left(e^{{\frac {1}{2} }\nu \pi i}D_{-\nu -1}(iz)+e^{-{\frac {1}{2}}\nu \pi i}D_{-\nu -1}(-iz )\oikea)

D_{\nu }(z)=zD_{\nu -1}(z)-(\nu -1)D_{\nu -2}(z)

H_{\nu }(z)=2zH_{\nu -1}(z)-2(\nu -1)H_{\nu -2}(z)

H_{\nu }(z)={\frac {2z}{2(\nu +1)))H_{\nu +1}(z)-{\frac {1}{2(\nu +1)))H_{\nu +2}(z)

2\nu ~H_{{\nu -1}}(z)+H_{{\nu +1}}(z)=2zH_{\nu }(z)

Erotuskaavat

{\frac {d}{dz}}~D_{\nu }(z)=-{\dfrac {1}{2}}zD_{\nu }(z)+\nu D_{{\nu -1} }(z)

{\frac {d}{dz}}~H_{\nu }(z)=2\nu H_{\nu -1}(z)

{\frac {d}{dz}}~H_{\nu }(z)-2zH_{\nu }(z)=-H_{{\nu +1}}(z)

{\frac {d}{dz}}{\Bigl [}e^{{-z^{2}}}~H_{\nu }(z){\Bigr ]}=-e^{{-z^ {2}}}H_{{\nu +1}}(z)

Integraaliesitykset

Asymptoottinen käyttäytyminen

Alkuperässä

Äärettömässä

Kirjallisuus

Whittaker, Watson. Modernin analyysin kurssi, 1963, osa 2
Bateman, Erdeyi Korkeammat transsendenttiset funktiot, osa 2

HF Weber , "Uber die Integration der partiellen Differentialgleichung " Math. Ann. 1 (1869) s. 1–36

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}+k^{2 }u=0

Linkit

Milton Abramowitz ja Irene A. Stegun, toim., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables 1972, Dover: New York. luku 19 .
Weisstein, Eric W. Parabolinen sylinterifunktio. MathWorldistä - Wolfram-verkkoresurssi.
Weisstein, Eric W. Parabolinen sylinteridifferentiaaliyhtälö. MathWorldistä - Wolfram-verkkoresurssi.