Keskijakoputki

Autonomisen tavallisen differentiaaliyhtälön singulaaripisteen keskimonitori on singulaarisen pisteen läpi kulkevan vaiheavaruuden invarianttimonisto , joka tangentti differentiaaliyhtälön linearisoinnin invarianttia keskusaliavaruutta kohtaan. [1] Tärkeä tutkimuskohde differentiaaliyhtälöiden ja dynaamisten järjestelmien teoriassa . Tietyssä mielessä koko järjestelmän ei-triviaali dynamiikka singulaaripisteen läheisyydessä keskittyy keskimonitoriin. [2]

Muodollinen määritelmä

Tarkastellaan autonomista differentiaaliyhtälöä, jonka yksikköpiste on 0:

${\piste {x}}=Ax+f(x),\quad (*)$

jossa , on lineaarinen operaattori, on luokan tasainen funktio ja ja . Toisin sanoen, onko vektorikentän linearisointi singulaaripisteessä 0. ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n))$ $A$ $f(x)$ $C^{k+1}$ $f(0) = 0$ $Df(0)=0$ $Kirves$

aliavaruus	otsikko	spektri A
$T^{s}$	vakaa _ _	$\operatorname {Re} \lambda <0$
$T^{u}$	epävakaa _ _	$\operatorname {Re} \lambda >0$
$T^{c}$	keskus ( kesk. )	$\operatorname {Re} \lambda =0$

Lineaarisen algebran klassisten tulosten mukaan lineaarinen avaruus hajoaa kolmen invariantin aliavaruuden suoraksi summaksi , jotka määräytyvät vastaavien ominaisarvojen reaaliosan etumerkillä (katso taulukko) $A$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=T^{s}\oplus T^{u}\oplus T^{c))$ ${\displaystyle T^{s},T^{u},T^{c))$

Nämä aliavaruudet ovat linearisoidun järjestelmän invariantteja monistoja, joiden ratkaisu on matriisieksponentti . Osoittautuu, että systeemin dynamiikka singulaaripisteen läheisyydessä on ominaisuuksiltaan lähellä linearisoidun järjestelmän dynamiikkaa. Tarkemmin sanottuna seuraava väite pitää paikkansa: [3] [4] ${\piste {x}}=Ax$ ${\displaystyle x(t)=e^{At}x_{0))$

Lause (keskisarjassa).

Oletetaan, että differentiaaliyhtälön (*) oikea puoli kuuluu luokkaan , . Sitten, singulaarisen pisteen läheisyydessä , differentiaaliyhtälön vaihevirran alla on muunnelmia ja luokkia ja vastaavasti invariantteja. Ne koskettavat origossa aliavaruuksia ja niitä kutsutaan vastaavasti stabiileiksi , epävakaiksi ja keskijakoiksi . $C^k$ $2\leq k<\infty$ $W^{s},W^{u}$ $W^{c}$ $C^{k},C^{k}$ $C^{k-1}$ $T^{s},T^{u}$ $T^{c}$

Siinä tapauksessa, että yhtälön (*) oikea puoli kuuluu luokkaan , monisto ja kuuluu myös luokkaan , mutta keskimonitori voi yleisesti ottaen olla vain äärellisen sileä. Lisäksi minkä tahansa mielivaltaisen suuren luvun tapauksessa monisto kuuluu luokkaan jossain naapurustossa , joka supistuu singulaaripisteeseen kohdassa , joten kaikkien naapureiden leikkauspiste koostuu vain singulaarisesta pisteestä itsestään [5] . ${\displaystyle C^{\infty ))$ ${\displaystyle W^{s))$ ${\displaystyle W^{u))$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $W^{c}$ $k$ $W^{c}$ ${\displaystyle C^{k))$ $U_k$ $k\to\infty$ $U_k$

Vakaita ja epävakaita muuttumattomia monistoja kutsutaan myös hyperbolisiksi , ne ovat yksilöllisesti määriteltyjä; samaan aikaan paikallista keskusjakotukia ei ole yksiselitteisesti määritelty. Ilmeisesti, jos järjestelmä (*) on lineaarinen, niin muuttumattomat monisot ovat yhtäpitäviä operaattorin vastaavien invarianttialiavaruuksien kanssa . $A$

Esimerkki: satulan kärki

Tason ei-degeneroituneilla singulaaripisteillä ei ole keskijakoputkistoa. Tarkastellaan yksinkertaisinta esimerkkiä degeneroituneesta singulaaripisteestä: muodon satulasolmu

${\begin{cases}{\dot {x}}=x^{2}\\{\piste {y}}=y\end{cases}}$

Sen epävakaa jakoputki osuu yhteen Oy-akselin kanssa ja koostuu kahdesta pystysuorasta erottimesta ja ja itse singulaarisesta pisteestä. Jäljellä olevat vaihekäyrät saadaan yhtälöstä $\{x=0,y>0\}$ ${\näyttötyyli \{x=0,y<0\))$

$y(x)=y_{0}\exp \left({\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {1}{x}}\right)$ ,

missä . $y(x_{0})=y_{0}$

On helppo nähdä, että vasemmassa puolitasossa ainoa singulaaripisteeseen suuntautuva vaihekäyrä osuu yhteen Ox-akselin säteen kanssa . Samanaikaisesti oikealla puolitasolla on äärettömän monta ( jatkuuma ) nollaan pyrkivää vaihekäyrää - nämä ovat funktion y(x) kuvaajia mille tahansa ja mille tahansa . Koska funktio y(x) on tasainen nollassa, voimme säteestä , pisteestä (0, 0) ja mistä tahansa oikean puolitason liikeradan muodostaa tasaisen invariantin moniston. Mikä tahansa niistä on paikallisesti pisteen (0, 0) keskimonitori. [6] ${\displaystyle \{x<0,y=0\))$ $x_{0}>0$ $y_0$ ${\displaystyle \{x<0,y=0\))$

Globaalit keskusjakoputket

Jos tarkastelemme yhtälöä (*) ei jossain singulaaripisteen 0 naapurustossa, vaan koko vaiheavaruudessa , voimme määritellä globaalin keskipisteen monisto . Epävirallisesti se voidaan määritellä invariantiksi monistoksi, jonka liikeradat eivät pyri äärettömyyteen (ajassa eteenpäin tai taaksepäin) hyperbolisia suuntia pitkin. Erityisesti globaalikeskuksen monisto sisältää kaikki rajatut liikeradat (ja siten kaikki rajasyklit , yksittäispisteet , separatriksikonnektiivit jne.) [7] $\mathbb {R} ^{n}$

Tarkastellaan avaruuden projektioita vastaaviin operaattorin invariantteihin aliavaruuksiin . Määrittelemme myös aliavaruuden ja projektion siihen. Keskijako on joukko pisteitä vaiheavaruudessa siten, että pisteestä alkavien lentoratojen projektio hyperboliseen aliavaruuteen on rajoitettu. Toisin sanoen ${\displaystyle \pi _{s},\ \pi _{u},\pi _{c))$ $\mathbb {R} ^{n}$ $A$ $T^{h}=T^{u}\oplus T^{s}$ $\pi _{h}$ $W^{c}$ $x$ $x$

$W^{c}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{t\in \mathbb {R} }|\pi _{h}({\ tilde {x}}(t,x))|<\infty \right\}$ ,

missä on yhtälön (*) ratkaisu sellainen, että . [kahdeksan] ${\tilde {x}}(t,x)$ ${\tilde {x}}(0,x)=x$

Globaalin keskusmoniskon olemassaoloon funktiolle on asetettava lisäehtoja: rajallisuus ja Lipschitzin ominaisuus riittävän pienellä Lipschitz-vakiolla. Tässä tapauksessa globaali keskusmonisto on olemassa, se on itse Lipschitzin osamonisto ja se on yksilöllisesti määritelty. [8] Jos vaadimme derivaatan järjestyksen tasaisuutta ja pienuutta, niin globaalikeskuksen monisto on järjestyksen sileyttä ja koskettaa keskeistä invarianttialiavaruutta singulaaripisteessä 0. Tästä seuraa, että jos tarkastellaan globaalin keskuksen rajoitusta monimutkainen yksittäisen pisteen pieneen naapurustoon, niin siitä tulee paikallinen keskusmonitori, on yksi tapa todistaa sen olemassaolo. Vaikka järjestelmä (*) ei täytä globaalin keskijakoputken olemassaolon ehtoja, sitä voidaan muokata jonkin nollaalueen ulkopuolella (kerrottamalla sopivalla " cap " -tyyppisellä sileällä katkaisufunktiolla), jotta nämä ehdot alkavat täyttyä, ja harkitse rajoitusta, että muunnetut globaalit keskusjakojärjestelmät. Osoittautuu, että voidaan muotoilla myös käänteinen väite: voidaan globalisoida paikallisesti annettu järjestelmä ja laajentaa lokaalikeskuksen monisto globaaliin. [9] Tarkemmin sanottuna tämä lausunto on muotoiltu seuraavasti: [10] $f(x)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f(x)$ $k$ $k$ $T^{c}$

Lause. Olkoon , , , ja paikallinen keskusmonitori (*). On olemassa niin pieni nollan ja funktion naapuruus, joka on rajoitettu koko avaruuteen , joka osuu yhteen , että funktion yhtälöllä (*) on tasainen globaalikeskusmonisto, joka osuu yhteen

f\in C^{k}(\mathbb {R} ^{n})

k\geq 1

f(0) = 0

Df(0)=0

W^{c}

\Omega

{\tilde {f}}(x)

f(x)

\Omega

\tilde f

\Omega

W^{c}

On huomattava, että siirtymistä paikallisista ongelmista globaaleihin ja päinvastoin käytetään usein keskusjakoputkiin liittyvien väitteiden todistamisessa.

Vähennyksen periaate

Kuten edellä mainittiin, ei-triviaali dynamiikka lähellä singulaaripistettä on "keskittynyt" keskijakoputkeen. Jos singulaaripiste on hyperbolinen (eli linearisointi ei sisällä ominaisarvoja, joiden reaaliosa on nolla), sillä ei ole keskimonistoa. Tässä tapauksessa Grobman-Hartman-lauseen mukaan vektorikenttä on orbitaalisesti topologisesti ekvivalentti sen linearisoinnin kanssa, eli topologisesta näkökulmasta katsottuna linearisointi määrää täysin epälineaarisen järjestelmän dynamiikan. Ei-hyperbolisen singulaaripisteen tapauksessa vaihevirtauksen topologia määräytyy lineaarisen osan ja virtauksen rajoituksen perusteella keskijakoputkeen. Tämä lausunto, jota kutsutaan Shoshitaishvilin pelkistysperiaatteeksi , on muotoiltu seuraavasti: [11]

Lause (A. N. Shoshitaishvili, 1975 [12] ).

Oletetaan, että vektorikentän oikea puoli (*) kuuluu luokkaan . Sitten, ei-hyperbolisen singulaaripisteen läheisyydessä, se on orbitaalisesti topologisesti ekvivalentti standardisatulan ja kentän rajoituksen tulolle keskijakoputkeen: $C^{2}$

${\begin{cases}{\dot {x}}=w(x)\\{\piste {y}}=-y\\{\piste {z}}=z,\end{cases} }\quad x\in W^{c},\ y\in T^{s},\ z\in T^{u}$

Muistiinpanot

↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Chow. Vektorikenttien normaalimuodot ja bifurkaatiot tasossa. - M .: MTSNMO, 2005. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 . , c. 13
↑ Iljašenko Yu.S., Veigu L. Ei-paikalliset haarautumat. - M .: MTsNMO-Chero, 1999. - 416 s. — ISBN 5-900916-34-0 . , luku 1, kohta 2.3
↑ Iljašenko Yu.S., Veigu L. Ei-paikalliset haarautumat. - M .: MTsNMO-Chero, 1999. - 416 s. — ISBN 5-900916-34-0 . , luku 1, kohta 2.2
↑ Epälineaarinen dynamiikka ja kaaos, 2011 , s. 133.
↑ Gukenheimer J., Holmes F. Epälineaariset värähtelyt, dynaamiset järjestelmät ja vektorikenttien bifurkaatiot, - Moscow-Izhevsk: IKI, 2002. - Luku 3, par. 3.2.
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Chow. Vektorikenttien normaalimuodot ja bifurkaatiot tasossa. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 37. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Chow. Vektorikenttien normaalimuodot ja bifurkaatiot tasossa. - M. : MTsNMO, 2005. - S. 14. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ 1 2 D. Wang, C. Lee, S.-N. Chow. Vektorikenttien normaalimuodot ja bifurkaatiot tasossa. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 16. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Chow. Vektorikenttien normaalimuodot ja bifurkaatiot tasossa. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 36. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Chow. Vektorikenttien normaalimuodot ja bifurkaatiot tasossa. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 38. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ Iljašenko Yu.S., Veigu L. Ei-paikalliset haarautumat. - M .: MTsNMO-Chero, 1999. - 416 s. — ISBN 5-900916-34-0 . , katso myös D. Wang, C. Lee, Sh.-N. Chow. Vektorikenttien normaalimuodot ja bifurkaatiot tasossa. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 406. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ Shoshitaishvili A.N. Vektorikentän topologisen tyypin bifurkaatiot lähellä singulaaripistettä. // Tr. seminaareja heille. I. G. Petrovski. - 1975. - Numero 1. . - S. 279-309 .

Kirjallisuus

Malinetsky G. G. , Potapov A. B. Epälineaarinen dynamiikka ja kaaos: peruskäsitteet. - M .: Librokom, 2011. - 240 s. - ISBN 978-5-397-01583-7 .