Elementti (luokkateoria)

Kategoriteoriassa elementin (tai pisteen ) käsite yleistää joukon elementin tavallisen käsitteen mielivaltaisen luokan objektiin. Joskus sen avulla voit muotoilla uudelleen morfismien ominaisuuksia (esimerkiksi monomorfismin ominaisuus ), jotka yleensä kuvataan yleisominaisuuksilla elementtien kartoituksen toiminnan tutuilla termeillä. Grothendieck ehdotti tätä lähestymistapaa kategoriateoriaan (ja erityisesti sen käyttöön Yonedan lemassa ) .

Määritelmä

Olkoon C luokka , A ja T kaksi objektia C. _ Tällöin kohteen A pisteet, joiden arvot ovat T :ssä, ovat nuolia . Objektin liittäminen sen pisteiden joukkoon T :n arvoilla on funktionaali "muuttujasta" T joukkojen luokkaan, jota kutsutaan kohteen A pistefunktioksi ; Yonedan lemman mukaan pistefunktori määrittelee A :n C :n objektiksi isomorfismiin asti. $p\kaksoispiste T\ A:lle$

Morfismien ominaisuudet

Monia morfismien ominaisuuksia voidaan kuvata pisteinä. Esimerkiksi morfismia f kutsutaan monomorfismiksi if

Kaikille morfismeille g , h sellaisille , että , on totta .

f\circ g=f\circ h

g=h

Olkoon nämä morfismit muodossa , luokassa C. Silloin g ja h ovat pisteitä B :ssä, joiden arvot ovat A :ssa , joten monomorfismin määritelmä vastaa: $f\ kaksoispiste B\ C$ $g,h\kaksoispiste A\-B$

f on monomorfismi, jos se vaikuttaa injektiopisteisiin .

Tällaiset uudelleenmuotoilut tulee tehdä varoen. f on epimorfismi , jos kaksoisominaisuus pätee:

Kaikille morfismeille g , h sellaisille , että , on totta .

g\circ f=h\circ f

g=h

Olkoon näillä morfismeilla muoto , . Joukkoteoriassa "epimorfismi" tarkoittaisi seuraavaa: $f\koolon A\B$ $g,h\kaksoispiste B\-C$

Jokainen piste B on jonkin pisteen A kuva f :n vaikutuksesta .

Tämä lausunto ei ole ollenkaan ensimmäisen käännös pisteiden kielelle eivätkä ne ole vastaavia yleisessä tapauksessa. Kuitenkin esimerkiksi Abelin kategorian tapauksessa "monomorfismien" ja "epimorfismien" on täytettävä niin vahvat ehdot, että ne voidaan tulkita pisteinä.

Joissakin kategorisissa rakenteissa, kuten tuote , on myös uudelleenmuotoiluja. Muista, että jos A , B ovat kaksi objektia C , niiden tulo A × B on sellainen, että

on olemassa morfismeja , ja mille tahansa T :lle ja morfismille on ainutlaatuinen morfismi siten, että ja .

p\kaksoispiste A\kertaa B\-A,

q\kaksoispiste A\kertaa B\-B

f\kaksoispiste T\:ksi,g\kaksoispiste T\B:ksi

h\kaksoispiste T\ A\kertain B

f=p\circ h

g=q\circ h

Tässä määritelmässä f ja g ovat pisteitä A ja B arvoilla T , kun taas h on piste A × B arvoilla T . Määritelmä voidaan muotoilla uudelleen seuraavasti:

A × B on objekti C , jossa on projektiot ja sellainen, että p ja q määrittävät bijektion pisteiden A × B ja pisteiden A ja B parien välillä .

p\kaksoispiste A\kertaa B\-A

q\kaksoispiste A\kertaa B\-B

Suhde joukkoteoriaan

Jos C on joukkojen luokka , on olemassa "yhden pisteen joukko" ( pääteobjekti ) - singleton {1}, ja joukon S tavalliset elementit ovat samat kuin S :n elementit arvoilla {1}. Voimme tarkastella pisteitä, joiden arvot ovat kohdassa {1,2} — S :n alkiopareja tai S × S -elementtejä . Tässä tapauksessa S määräytyy täysin sen {1}-pisteistä. Tämä ei kuitenkaan ole läheskään aina totta (tässä tapauksessa tämä johtuu siitä, että mikä tahansa joukko on {1}: n yhteistulo ).

Muistiinpanot

Barr, Michael; Wells, Charles. Topoosit, kolmiot ja teoriat (määrittämätön) . — Springer, 1985. Arkistoitu 21. elokuuta 2010 Wayback Machinessa