Inertian ellipsoidi

Inertiaellipsoidi (pisteelle O) on geometrinen kuvio toisen kertaluvun pinnan muodossa , joka luonnehtii jäykän kappaleen inertiatensoria suhteessa pisteeseen O.

Inertian tensori ja inertian ellipsoidi

Pääartikkeli: Inertiatensori

Kappaleen hitausmomentti saadaan yleisestä kaavasta:

I=\int {\mathbf r}_{{\bot }}^{2}\,dm

Jäykän kappaleen inertiatensori esitetään symmetrisenä matriisina

{\begin{pmatrix}I_{{xx}}&I_{{xy}}&I_{{xz}}\\I_{{yx}}&I_{{yy}}&I_{{yz}}\\I_{{zx }}&I_{{zy}}&I_{{zz}}\end{pmatrix}}

jossa elementit ovat hitausmomentteja eri akseleilla:

$I_{{xx}}=\int (y^{2}+z^{2})\,dm$
$I_{{yy}}=\int (x^{2}+z^{2})\,dm$
$I_{{zz}}=\int (x^{2}+y^{2})\,dm$

$I_{{xy}}=I_{{yx}}=-\int xy\,dm$
$I_{{xz}}=I_{{zx}}=-\int xz\,dm$
$I_{{yz}}=I_{{zy}}=-\int yz\,dm$

Inertiatensorimatriisi voidaan esittää diagonaalimuodossa , jolloin diagonaalielementit , , ovat kappaleen päähitausmomentteja . Inertian ellipsoidin yhtälö kirjoitetaan sitten seuraavasti: $I_{x}$ ${\displaystyle I_{y))$ $I_{z}$

$I_{x}x^{2}+I_{y}y^{2}+I_{z}z^{2}=1$

Tässä tapauksessa ellipsoidin koordinaattiakselien on oltava samat kappaleen pääakseleiden kanssa.

Hitausellipsoidin tunteminen mahdollistaa kehon hitausmomentin löytämisen minkä tahansa akselin suhteen, kunhan se kulkee ellipsoidin keskustan läpi. Tätä varten sädevektoria piirretään pitkin valittua akselia , kunnes se leikkaa inertiaellipsoidin. Kappaleen hitausmomentti tämän akselin suhteen saadaan kaavasta:

$I={\frac {1}{r^{2}}}$ , missä on sädevektorin pituus. $r$

Jos ulkoisten voimien momentti suhteessa kiinteään pisteeseen on nolla, sanotaan, että Eulerin tapaus jäykän kappaleen liikkeestä toteutuu. Tällaista tapausta varten Poinsot onnistui saamaan selkeän geometrisen tulkinnan: kiinteän pisteen inertian ellipsoidi rullaa liukumatta avaruuteen kiinnitettyä tasoa pitkin; tämä taso on kohtisuora kappaleen liikemäärävektoriin nähden ; kappaleen kulmanopeus on verrannollinen kosketuspisteen sädevektorin pituuteen ja yhtyy sen kanssa suunnassa.

Esimerkkejä inertian ellipsoideista

Suorakulmainen suuntaissärmiö

Olkoon suuntaissärmiöllä mitat . Tärkeimmät hitausmomentit: ${\näyttötyyli a,b,c}$

I_{x}={\frac {m}{12}}(b^{2}+c^{2}),\quad I_{y}={\frac {m}{12}}(a^{ 2}+c^{2}),\quad I_{z}={\frac {m}{12}}(a^{2}+b^{2})

Kuvassa on likimääräinen kuva inertiaellipsoidista.

Äärettömän pitkän ohuen sauvan hitausellipsoidin laskemiseksi yhtä mitoista pidetään paljon suurempia kuin muita, ja ellipsoidi rappeutuu lieriömäiseksi pinnaksi .

Kirjallisuus

Sivukhin D.V. Yleinen fysiikan kurssi. - 4. painos — M .: FIZMATLIT; MIPT Publishing House, 2005. - Vol. 1. Mechanics. - S. 311. - 560 s. — ISBN 5-9221-0225-7 .
Yleisen fysiikan laboratoriotyöpaja / A.D. Gladun. - M. : MIPT, 2004. - T. 1. Mekaniikka. - S. 133. - 316 s. — ISBN 5-7417-0202-3 .
Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreettinen fysiikka. - 5. painos - M. : FIZMATLIT, 2007. - T. 1. Mekaniikka. - S. 131. - 224 s. - ISBN 978-5-9221-0819-5 .