Lisäenergia

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 22. marraskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Additiivinen energia on ryhmän osajoukon numeerinen ominaisuus, joka kuvaa joukon rakennetta suhteessa ryhmän toimintaan. Termin keksivät Terence Tao ja Wang Wu [1] .

Määritelmä

Olkoon ryhmä. ${\näyttötyyli (G,+)}$

Joukkojen ja additiivinen energia merkitään ja on yhtä suuri kuin [2] seuraavan yhtälön ratkaisujen lukumäärä: $A\subset G$ $B\subset G$ $E_{+}(A,B)$

a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}(a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B)

Vastaavasti voidaan määrittää kertova energia (esimerkiksi renkaassa ) yhtälön ratkaisujen lukumääräksi: $E_{\times }(A,B)$

a_{1}b_{1}=a_{2}b_{2}(a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B)

Ääriarvot

Se saavuttaa pienimmän arvonsa , kun kaikki summat ovat erilaisia (koska silloin yhtälö pätee vain ) - esimerkiksi kun ja on joukko ryhmän erilaisia generaattoreita jostain minimaalisesta generaattorijoukosta . Sitten $E_{+}(A,B)$ ${\näyttötyyli a+b\ (a\in A,b\in B)}$ $\{a_{1},b_{1}\}=\{a_{2},b_{2}\}$ $A=B$ $A$ $G$ $E(A,A)={\frac {|A|^{2}+|A|}{2))$

Suurin arvo saavutetaan, kun ja on alaryhmä . Tässä tapauksessa millä tahansa määrällä yhtälön ratkaisuja on , Joten $E_{+}(A,B)$ $A=B$ $A$ $G$ $x\in A$ ${\näyttötyyli a+b=x\ (a,b\in A)}$ $|A|$ ${\displaystyle E_{+}(A,A)=|A|^{3))$

Näin ollen kasvujärjestyksen väliarvoja välillä ja voidaan pitää suurempana tai pienempänä indikaattorina rakenteen läheisyydestä alaryhmän rakenteeseen. Joillekin ryhmille tietyt additiivisen energian rajoitukset mahdollistavat rakenteellisten teoreemojen osoittamisen riittävän suurten alaryhmien olemassaolosta sisällä (tai jostain siitä johdetuista joukoista) ja upotetavuudesta (tai jostain siitä johdetuista joukoista) riittävän pieniin alaryhmiin . [3] Näiden lauseiden rajoitukset liittyvät ryhmän ja sen yksittäisten generaattoreiden vääntöeksponenttiin . Syklisille ja vääntövapaille ryhmille on kuitenkin samanlaisia lauseita, jotka käsittelevät yleistettyä aritmeettista progressiota alaryhmien sijaan . $E_{+}(A,A)$ $|A|^{2}$ $|A|^{3}$ $A$ $G$ $G$ $A$ $A$ $G$ $G$ $G$

Perusominaisuudet

E_{+}(A,B)=E_{+}(A,-B)=E_{-}(A,B)

{\displaystyle E_{+}(A,B)|A+B|\geq |A|^{2}|B|^{2))

, missä [2]

A+B=\left\lhakasulke {a+b:a\in A,b\in B}\oikea\rsulku

Todiste

Merkitään . $\lambda (x)=\#\left\lsulku {(a,b)\in A\times B:a+b=x}\right\rbrace$

Sitten ja Cauchyn ja Bunyakovskyn epätasa-arvon mukaan, $E_{+}(A,B)=\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)^{2))$

$E_{+}(A,B)\geq {\frac {1}{|A+B|}}\sum \left({\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)}}\oikea)^{2}={\frac {1}{|A+B|}}(|A||B|)^{2}$

Ensisijaisen jäännösrenkaan lisäenergia voidaan ilmaista trigonometrisinä summina . Merkitään . Sitten $G={\mathbb {F} }_{p}$ $e_{p}(k)=e^{2\pi {\frac {k}{p}}i}$

E_{+}(A,B)={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{ e_{p}(tb)}}{\Bigg \vert }}^{2}}

Todiste

Käytämme Iverson-merkintää ja indikaattoriidentiteettiä .

E_{+}(A,B)=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{[a_{1 }+b_{1}=a_{2}+b_{2}]}=\summa \rajat _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B }{{\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2} -b_{2))}}={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{\sum \limits _{a_{1},a_{ 2 }\in A,b_{1},b_{2}\in B}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2}-b_{2})))}}

={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p} (ta)))\oikea){\overline {\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}\right)}}\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\oikea){\overline {\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\ oikea)))={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A }{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)} }{\Bigg \vert }}^{2}}

Huomaa, että trigonometristen summien ilmaisu pätee vain additiiviselle energialle, mutta ei multiplikatiiviselle energialle, koska se käyttää eksplisiittisesti summauksen ominaisuuksia . ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$

Sovellukset

Summa- ja multiplikatiivisia energioita käytetään additiivisessa ja aritmeettisessa kombinatoriikassa kombinatoristen summien ja joukkotulojen analysointiin , erityisesti summatulo -lauseen todistamiseen . $A+B=\left\lhakasulku {a+b:A+B}\oikea\rsulku$

Vanhimmat energiat

Additiivisen energian määrittelevässä yhtälössä on kaksi pääyleistämistä - termien lukumäärän ja yhtälöiden lukumäärän perusteella:

E_{k}(A)=\#\left\lhakasulku {a_{1}-b_{1}=a_{2}-b_{2}=\pisteet =a_{k}-b_{k} \ :\ a_{i},b_{i}\in A}\right\rbrace =\sum \limits _{s}{|A\cap (A+s)|^{k}}

T_{k}(A)=\#\left\lsulku {\sum \limits _{i=1}^{k}{x_{i}}=\sum \limits _{i=1}^ {k}{y_{i}}\ :\ x_{i},y_{i}\in A}\right\rbrace

Niitä kutsutaan korkeammiksi energioiksi [4] , ja joskus on mahdollista saada arvioita niistä saamatta arvioita tavanomaiselle lisäenergialle. [5] [6] Samaan aikaan Hölderin epäyhtälö mahdollistaa (merkittävällä heikkenemisellä) arvioida tavallista energiaa korkeampien energiamuotojen avulla.

Parametrissa , todellisia lukuja otetaan joskus huomioon, ei vain kokonaislukuja (vain korvaamalla viimeinen lauseke). [7] $k$ $E_k$

Katso myös

Summatulo-lause
Changin rakennelause

Kirjallisuus

Yu. N. Shteinikov. Arviot trigonometrisille summille alaryhmien ja joidenkin niiden sovellusten välillä // Matemaattisia huomautuksia. - 2015. - T. 98 , no. 4 . - S. 606-625 . (Venäjän kieli)

I. D. Shkredov. Useita uusia tuloksia korkeammista energioista (englanniksi) // Proceedings of the Moscow Mathematical Society. - 2013. - Vol. 74 , iss. 1 . - s. 35-73 .

Muistiinpanot

↑ co.combinatorics - Mistä termi "lisäaineenergia" sai alkunsa? - MathOverflow . Haettu 23. elokuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 23. elokuuta 2019. (määrätön)
↑ 1 2 M. Z. Garaev, Joukkojen summat ja tulot sekä rationaalisten trigonometristen summien estimaatit alkujärjestyksen kentissä, Uspekhi Mat. Nauk, 2010, osa 65, numero 4 (394) , s. 25 (sivunumeron mukaan)
↑ Chebyshevin laboratorion luennot, kurssi "Additiivinen kombinatoriikka" (Fjodor Petrov), luento 6 , hetkestä 1:11:30
↑ Shkredov, 2013 .
↑ Shteinikov, 2015 , s. 607, lause 4.
↑ arXiv : 1808.08465v4 Misha Rudnev, George Shakan, Ilja Shkredov, "Pienten joukkojen vahvemmat summa-tuloepätasa-arvot", s. 5, seuraus 7
↑ Shkredov, 2013 , s. 59, Lause 6.3.