Ulkoinen algebra

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 20. syyskuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Ulkoinen algebra tai Grassmann-algebra on assosiatiivinen algebra , jota käytetään geometriassa integrointiteorian rakentamisessa moniulotteisissa tiloissa. Grassmann esitteli ensimmäisen kerran vuonna 1844.

Ulompi algebra avaruuden yli on yleensä merkitty . Tärkein esimerkki on differentiaalimuotojen algebra tietyssä monistossa. $V$ $\bigwedge V$

Määritelmä ja siihen liittyvät käsitteet

Kentän yläpuolella olevan vektoriavaruuden ulompi algebra on tensorialgebran assosiatiivinen osamääräalgebra kaksipuolisella ideaalilla , jonka muodostavat muodon elementit : $\isokiila V$ $V$ $K$ $T(V)$ $minä$ $x\otimes x,x\in V$

{\textstyle \bigwedge }V=T(V)/I

Jos kentän ominaisuus on , niin ideaali on täsmälleen sama kuin muodon elementtien synnyttämä ideaali . $\operaattorin nimi {char} (K)\neq 2$ $minä$ $x\otimes y+y\otimes x$

Kertolaskua ∧ tällaisessa algebrassa kutsutaan ulkotuloksi . Rakenteeltaan se on antikommutatiivista:

x\wedge y=-(y\wedge x).

Avaruuden k -nnettä ulkovoimaa kutsutaan muodon elementtien generoimaksi vektoriavaruudeksi $V$ $\bigwedge \nolimits ^{k}V$

x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\ldots ,k,

lisäksi ja = { 0 } kun k > n . $\dim {\textstyle \bigwedge }^{k}V={\binom {n}{k}}\,$ $\bigwedge \nolimits ^{k}V$

Jos ja { e 1 , …, e n } on kanta , niin kanta on joukko $\dim V=n$ $V$ $\bigwedge \nolimits ^{k}V$

\{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~k=1,2, \cdots ,n~~{\text{ ja }}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\,\}.

Sitten

{\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^ {2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{n}(V),

ja on helppo nähdä, että ulkoalgebralla on luonnollisesti arvosana : jos ja , sitten $\alpha \in \bigwedge \nolimits ^{k}\left(V\right)$ $\beta \in \bigwedge \nolimits ^{p}\left(V\right)$

\alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha \quad \in \bigwedge \nlimits ^{k+p}\left(V\oikea).

Ominaisuudet

Avaruuden elementtejä kutsutaan r -vektoreiksi. Siinä tapauksessa , että pääkentän ominaisuus on yhtä suuri kuin 0, ne voidaan ymmärtää myös vinosymmetrisinä r kertaa kontravarianttien tensorien kanssa antisymmetrisoidun (vaihtuvan) tensoritulon, toisin sanoen kahden antisymmetrisen ulkotulon , operaatiossa . tensorit on kaikkien indeksien täydellisen antisymmetrisoinnin (vuorottelun) koostumus tensoritulon kanssa . $\bigwedge \nolimits ^{r}V$ $V,$
- Erityisesti kahden vektorin ulkotulo voidaan ymmärtää seuraavana tensorina: $(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}.$
- Huomautus: Ei ole olemassa yhtä standardia, mitä "antisymmetrisaatio" tarkoittaa. Esimerkiksi monet kirjoittajat pitävät kaavasta parempana $(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})/2.$
Satunnaisen vektorin ulkoneliö on nolla: $\omega \in \bigwedge \nolimits ^{1}V$

\omega ^{\wedge 2}=\omega \wedge \omega =0.

R -vektoreille, joissa on parillinen r , tämä ei pidä paikkaansa. Esimerkiksi

(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4})^{\wedge 2}=2\cdot \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}.

Lineaarisesti riippumattomat -vektorien ja -vektorien järjestelmät generoivat saman aliavaruuden silloin ja vain, jos -vektorit ja ovat verrannollisia. $r$ $x_{1},\pisteet ,x_{r}$ $y_{1},\pisteet ,y_{r}$ $V$ $r$ $x_{1}\kiila \pisteet \kiila x_{r}$ $y_{1}\kiila \pisteet \kiila y_{r}$

Linkit

Vinberg E. B. Algebra-kurssi. - M . : Factorial Press, 2002. - ISBN 5-88688-060-7
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria, - M .: Fizmatlit, 2009.
Schutz B. Matemaattisen fysiikan geometriset menetelmät. - M .: Mir, 1984.
Efimov NV Johdatus ulkoisten muotojen teoriaan. - M .: Nauka , 1977.

Ulkoinen algebra

Määritelmä ja siihen liittyvät käsitteet

Ominaisuudet

Linkit

Katso myös