Vertex-operaattoreiden algebra

Vertex - operaattorialgebrat esitteli ensimmäisen kerran Richard Borcherds vuonna 1986 . Tärkeää merkkijonoteorialle , konformikenttäteorialle ja niihin liittyville fysiikan aloille. Vertex-operaattoreiden algebran aksioomit ovat muodollinen algebrallinen tulkinta siitä, mitä fyysikot kutsuvat kiraaliseksi algebraksi .

Vertex-operaattorialgebrat ovat osoittautuneet hyödyllisiksi puhtaasti matemaattisilla aloilla, kuten Langlandsin geometrisessa vastaavuudessa ja hirviömäisten järjettömyyksien todisteissa .

Esimerkkejä

R : n hila Z antaa yhtä kompleksista fermionia vastaavien kärkioperaattoreiden superalgebran . Tämä on toinen tapa muotoilla bosoni-fermioninen vastaavuus . Fermioninen kenttä ψ( z ) ja sen konjugaattikenttä ψ † ( z ) saadaan seuraavasti:

\psi (z)=\sum e_{n}z^{-n-1},\ \ \psi ^{\dagger }(z)=\sum e_{n}^{*}z^{ n},\ \ \{e_{n},e_{m}\}=0,\ \ \{e_{m},e_{n}^{*}\}=\delta _{m,n}I .

Fermionien ja yhden varautuneen bosonikentän välinen vastaavuus

\phi (z)=\sum a_{n}z^{-n-1},\ \ [a_{m},a_{n}]=m\delta _{n+m,0}I ,\ \ Ua_{n}U^{-1}=a_{n}-\delta _{n,0}I

ottaa muodon

\phi (z)=\;\colon \psi ^{\dagger }(z)\psi (z)\colon

\psi (z)=U\;\colon \exp \int \phi (z)\colon

jossa normaalit eksponentit tulkitaan kärkioperaattoreiksi.

Hila √2 Z R :ssä antaa kärkioperaattorialgebran, joka vastaa affiinia Kac-Moody-algebraa SU:lle ( 2) ensimmäisellä tasolla . Sen toteuttavat kentät

H(z)=\phi(z)\otimes I - I\otimes \phi(z)

E(z)=\psi(z)\otimes \psi^\dagger(z)

F(z)=\psi^\dagger(z)\otimes \psi(z)

Kirjallisuus

Lepowski D., Lee H. Johdatus kärkioperaattorialgebroihin ja niiden esityksiin. - Iževsk: RHD 2008. - 424 s. — ISBN 978-5-93972-664-1
Kats VG Vertex -algebrat aloittelijoille / Per. englannista. — M.: MTsNMO, 2005. — 200 s. — ISBN 5-94057-124-7 .
Shekhtman VV Vertex-algebrat, jotka liittyvät algebrallisiin lajikkeisiin. — s. 91-104 Arkistoitu 8. helmikuuta 2013 Wayback Machinessa .