Alexanderin geometria

Alexanderin geometria on omituinen kehityssuunta modernin geometrian aksiomaattisesta lähestymistavasta. Ajatuksena on korvata tietty tasa-arvo euklidisen avaruuden aksiomatiikassa epätasa-arvolla.

Historia

Ensimmäisen synteettisen määritelmän ylemmän ja alemman kaarevuuden rajoituksista antoi Abraham Wald perustutkintotyössään, joka on kirjoitettu Carl Mengerin valvonnassa . [1] Tämä teos unohdettiin 80-luvulle asti.

Samanlaiset määritelmät löysi uudelleen Aleksandr Danilovich Aleksandrov . [2] [3] Hän antoi myös tämän teorian ensimmäiset merkittävät sovellukset, erityisesti pintojen upottamisen ja taivutuksen ongelmiin.

Läheisesti liittyvän määritelmän ei-positiivisen kaarevuuden metrisistä avaruksista antoi lähes samanaikaisesti Herbert Busemann . [neljä]

Aleksandrovin ja hänen opiskelijoidensa tutkimus toteutettiin kahdella pääsuunnassa:

Kaksiulotteiset tilat, joiden kaarevuus on rajoitettu alhaalta;
Mittasuhteiltaan mielivaltaiset tilat, joiden kaarevuus on rajattu ylhäältä.
- Hyperbolisuus Gromovin mielessä on tämän teorian laajennus diskreeteille tiloille. Sillä on merkittäviä sovelluksia ryhmäteoriassa .

Mielivaltaisen ulottuvuuden avaruutta, jonka kaarevuus on rajattu alla, alettiin tutkia vasta 1990-luvun lopulla. Sysäyksenä näille tutkimuksille oli Gromovin kompaktisuuslause . Perusteoksen ovat kirjoittaneet Juri Dmitrievich Burago , Mihail Leonidovich Gromov ja Grigory Yakovlevich Perelman . [5]

Perusmääritelmät

Vertailukolmio metrisen avaruuden pisteiden kolmiolle on kolmio euklidisessa tasossa , jolla on samat sivun pituudet; tuo on $xyz$ $X$ $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ $\mathbb {E} ^{2}$

{\begin{aligned}|{\tilde {x}}-{\tilde {y}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|xy|_{X},\\ |{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|yz|_{X},\\|{\tilde {z}}- {\tilde {x}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|zx|_{X}.\end{aligned}}

Vertailukolmion kärjessä olevaa kulmaa kutsutaan kolmion vertailukulmaksi ja sitä merkitään . ${\tilde x}$ $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ $xyz$ ${\tilde {\measuredangle }}(x\,_{z}^{y})$

Aleksandrov-geometriassa täydellisiä metriavaruuksia, joissa on sisäinen metriikka, tarkastellaan jollakin seuraavista kahdesta epäyhtälöstä kuudelle etäisyydelle neljän mielivaltaisen pisteen välillä. $X$

Ensimmäinen epäyhtälö on seuraava: harkitse mielivaltaiselle 4 pisteelle vertailukolmioiden paria ja sitten mielivaltaiselle pisteelle epäyhtälö ${\näyttötyyli x,y,p,q\in X}$ $[{\tilde {x}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ $[{\tilde {y}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ ${\tilde {z}}\in [{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$

|xy|_{X}\leq |{\tilde {x}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}+|{\tilde {y}} -{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}.

Tässä tapauksessa avaruuden sanotaan tyydyttävän -epäyhtälön. Täydellistä avaruutta , joka täyttää -epäyhtälön, kutsutaan Hadamard-avaruudeksi . Jos tämä epäyhtälö täyttyy paikallisesti, avaruudella sanotaan olevan ei- positiivinen kaarevuus Aleksandrovin merkityksessä . $\mathrm {CAT} [0]$ $\mathrm {CAT} [0]$

Toinen epäyhtälö on seuraava: mielivaltaiselle 4 pisteelle epäyhtälö $p,x,y,z\in X$

{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{y}^{x})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{z}^{y})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{x}^{z})\leq 2\cdot \pi .

Tässä tapauksessa avaruuden sanotaan tyydyttävän -epäyhtälöä, tai avaruuden sanotaan olevan ei-negatiivinen kaarevuus Aleksandrovin merkityksessä . $\mathrm {CBB} [0]$

Yleiset kaarevuuden rajoitukset

Euklidisen tason sijasta voit ottaa tilaa - kaarevuusmallitason . Tuo on $\mathbb {M} [k]$ $k$

$\mathbb {M} [0]$ on euklidinen taso ,
$\mathbb {M} [k]$ kun on sädepallo , $k>0$ $1/{\sqrt {k))$
$\mathbb {M} [k]$ klo on Lobatševskin kaarevuustaso . $k<0$ $k$

Sitten yllä olevat määritelmät muuttuvat CAT[k]- ja CBB [k]-avaruuksien määritelmiksi sekä kaarevuusavaruuksiksi ja Aleksandrovin merkityksessä . $\leq k$ $\geq k$ $k>0$ ${\näyttötyyli (xyz)}$

|xy|_{X}+|yz|_{X}+|zx|_{X}<2\cdot \pi /{\sqrt {k))

Peruslauseet

Aleksandrovin lemma on tärkeä tekninen lausunto vertailukulmista

Reshetnyakin liimauslause — sallii CAT(k)-avaruuksien rakentamisen liimaamalla CAT(k)-avaruuksia kupereiden joukkojen päälle.

Reshetnyak-suurauslause antaa sopivan ekvivalentin määritelmän CAT(k)-avaruuksille.

Globalisaatiolause CAT(k)-avaruuksille on Hadamard-Cartan-lauseen yleistys .

Globalisaatiolause CBB(k)-avaruuksille on yleistys Toponogovin vertailulauseesta .

Muistiinpanot

↑ Wald, A. Begründung eiiner Koordinatenlosen Differentialgeometrie der Flächen (saksa) // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquium. - 1935. - Bd. 6 . - S. 24-46 .
↑ Aleksandrov A. D. Kuperien pintojen sisägeometria. - Gostekhizdat, 1948.
↑ Aleksandrov A. D. Yksi lause kolmioista metrisessä avaruudessa ja jotkin sen sovellukset // Tr. MIAN Neuvostoliitto. - 1951. - T. 38 . - S. 5-23 . (Venäjän kieli)
↑ Busemann, Herbert Tilat, joissa ei-positiivinen kaarevuus. ActaMath. 80, (1948). 259–310.
↑ Yu. D. Burago, M. L. Gromov, G. Ya. Perelman. Aleksandrov-tilat, joiden kaarevuus on rajattu alle // Uspekhi Mat. - 1992. - T. 47 , nro 2 (284) . - S. 3-51 . (Venäjän kieli)

Kirjallisuus

Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Metrinen geometrian kurssi. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .
Luento 5, Aleksandrovin geometria
Sergei Ivanov . Metrinen geometria ja Aleksandrov-avaruudet . Lectorium ( 10.02.11 ). (määrätön)
Sergei Ivanov . Aleksandrovin tilojen geometria . Lectorium (04.07.17). (määrätön)
Anton Petrunin, Alexander-geometrian videoluennot
Aleksanteri, Stephanie; Kapovitch, Vitali & Petrunin, Anton, Kutsu Aleksandrovin geometriaan: CAT[0]-välit, arΧiv : 1701.03483 [math.DG].